摘要：例3.m是什么整数时.能分解成两个连续自然数的积? 解:设.则 原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解.所以应为某整数的平方.设为.则 化为 因为m是整数.故再次利用有整数解的条件.应有是某一整数的平方.也即为一完全平方数.又设为.于是.即或 因为 所以 又因是偶数.故与有相同的奇偶性.故<3>式只对划线部分有解. ① ② ③ ④ 由①解得:.此时<2>式为: 或 由②解得:.此时<2>式为: 或 由③解得:.此时<2>式为: 或 由④解得:.此时<2>式为: 或 经检验.均为所求值.所以时.能分解成两个连续的自然数的积.事实上.对: 时. 时. 时. 时. 注意“△是一完全平方式 只是整系数一元二次方程有整数根的必要条件.倘若将它视为充要条件则会出现错误. 例4.(1998年全国初中数学竞赛试题) 已知方程至少有一个整数根.那么 . 如若认为是完全平方式.从而原方程至少有一整数根.那就大错特错了.实际上由方程解出.故当或或时均不可能有整数解.

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