摘要：2.1 矩形(一) 教学目标 知识与技能 1.掌握矩形的概念和性质.理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 过程与方法 经历探索矩形的概念和性质的过程.发展学生合情推理的意识,掌握几何思维方法.并 渗透运动联系.从量变到质变的观点． 情感态度与价值观 培养严谨的推理能力.以及自主合的精神.体会逻辑推理的思维价值. 重点 矩形的性质． 难点 矩形的性质的灵活应用． 教 学 过 程 备 注 教学设计 与 师生互动 第一步:课堂引入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门.活动衣架.篱笆.井架等).想一想:这里面应用了平行四边形的什么性质? 2．思考:拿一个活动的平行四边形教具.轻轻拉动一个点.观察不管怎么拉.它还是一个平行四边形吗?为什么? 3．再次演示平行四边形的移动过程.当移动到一个角是直角时停止.让学生观察这是什么图形?引出本课题及矩形定义． 矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 矩形是我们最常见的图形之一.例如书桌面.教科书的封面等都有矩形形象． [探究]在一个平行四边形活动框架上.用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上.拉动一对不相邻的顶点.改变平行四边形的形状． ① 随着∠α的变化.两条对角线的长度分别是怎样变化的? ② 当∠α是直角时.平行四边形变成矩形.此时它的其他内角是什么样的角?它的两条对角线的长度有什么关系? 操作.思考.交流.归纳后得到矩形的性质． 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等． 如图.在矩形ABCD中.AC.BD相交于点O.由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD． 因此可以得到直角三角形的一个性质: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 第二步:应用举例: 例1 已知:如图.矩形ABCD的两条对角线相交于点O.∠AOB=60°.AB=4cm.求矩形对角线的长． 分析:因为矩形是特殊的平行四边形.所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质.根据矩形的这个特性和已知.可得△OAB是等边三角形.因此对角线的长度可求． 解:∵ 四边形ABCD是矩形. ∴ AC与BD相等且互相平分． ∴ OA=OB． 又 ∠AOB=60°. ∴ △OAB是等边三角形． ∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8(cm)． 例2已知:如图 .矩形 ABCD.AB长8 cm .对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长． 分析:(1)因为矩形四个角都是直角.因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质.而此题利用方程的思想.解决直角三角形中的计算.这是几何计算题中常用的方法． 略解:设AD=xcm.则对角线长(x+4)cm.在Rt△ABD中.由勾股定理:.解得x=6． 则 AD=6cm． (2)“直角三角形斜边上的高 是一个基本图形.利用面积公式.可得到两直角边.斜边及斜边上的高的一个基本关系式: AE×DB＝ AD×AB.解得 AE＝ 4.8cm． 例3 已知:如图.矩形ABCD中.E是BC上一点.DF⊥AE于F.若AE=BC． 求证:CE＝EF． 分析:CE.EF分别是BC.AE等线段上的一部分.若AF＝BE.则问题解决.而证明AF＝BE.只要证明△ABE≌△DFA即可.在矩形中容易构造全等的直角三角形． 证明:∵ 四边形ABCD是矩形. ∴ ∠B=90°.且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE. ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE. ∴ △ABE≌△DFA(AAS)． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC． 此题还可以连接DE.证明△DEF≌△DEC.得到EF＝EC． 例2 已知:如图3.矩形ABCD中.于E.且. 求:的度数. 分析:由已知可得.而所求是的一部分.就要研究与其它角的关系.因为OA＝OD.所以＝.把题目中的已知条件.与矩形的性质结合起来.得到基本图形直角三角形斜边上的高的形式.可以推出.于是得到.求的度数也就显然了. 图3 解: 例3 已知:如图4.矩形ABCD的对角线AC.BD交于O.EF过O点交AD于E.交BC于F.且EF＝BF..求证:CF＝OF. 图4 分析:欲证CF＝OF.只要.由矩形可知.由.可得到OE＝OF.又因为EF＝BF.有.由于.于是步.又有. 第三步:随堂练习 1． (1)矩形的定义中有两个条件:一是 .二是 ． (2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°.则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 . . . ． (3)已知矩形的一条对角线长为10cm.两条对角线的一个交角为120°.则矩形的边长分别为 cm. cm. cm. cm． 2． (1)下列说法错误的是( )． (A)矩形的对角线互相平分 (B)矩形的对角线相等步为营 (C)有一个角是直角的四边形是矩形 (D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( )． 6对 (D)8对 3．已知:如图.O是矩形ABCD对角线的交点.AE平分∠BAD.∠AOD=120°.求∠AEO的度数． 3. 如图5.在矩形ABCD中..求这个矩形的周长.(答案:16+) 图5 图6 在矩形中若存在矩形对角线.那就一定要利用矩形对角线的性质.即相等又平分.转化成等腰三角形.利用等边对等角的性质. 4. 已知:如图6.矩形ABCD中.AE平分交BC于E.若 求:的度数.(提示:要充分利用等腰.等边的性质) 解:矩形ABCD.AE平分 第四步:课后练习 1．矩形的两条对角线的夹角为60°.对角线长为15cm.较短边的长为( )． 10cm 5cm 2．在直角三角形ABC中.∠C=90°.AB=2AC.求∠A.∠B的度数． 3．已知:矩形ABCD中.BC=2AB.E是BC的中点.求证:EA⊥ED． 4．如图.矩形ABCD中.AB=2BC.且AB=AE.求证:∠CBE的度数． 课后小结与反思: 今天我们主要学习了矩形的定义及性质.矩形是角特殊的平行四边形.决定了矩形的四个角都是直角.对角线相等.由于矩形的对角线把矩形分割成直角三角形.等腰三角形.所以我们还要把直角三角形.等腰三角形.等边三角形的性质.判定好好复习一下.这对于解决矩形问题是大有好处的.

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