摘要：(二)导入知识,解释疑难 1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢? 由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=,则-4= -,把4和-4称为16的平方根. 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=±.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,表示为±3=±. 把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当x2=49时,x=±7;当x2=,则±为的平方根,依次可记为±,±,±,±,±,它们的对应关系如图所示. 练习:求下列各数的平方根. -100 解:(1)因为0.72=0.49,2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±=±0.7 (2)因为()2=,(-)2= ,所以的平方根为±,即±=± (3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9. (4)因为02=0,所以0的平方根为0,即±=0. (5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根. 将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出: 正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根 例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根. (1) (2)- (3)± 解:(1)因为1.22=1.44,所以=1.2,1.44的平方根为±1.2,即±=±1.2. (2)因为92=81,所以-=-9,81的平方根为±9,即±=±9. (3)因为()2=,所以±=±,它正是的平方根. 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定. 面对问题(2)中的“宇宙速度 ,我们知道第一宇宙速度v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R≈6.4×106米,v22=2gR,则有v12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2 因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根. 那么v1=±≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v2=± ≈±11.2×103米/秒=±11.2千米/秒 但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值. 例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米? 解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米 故3x2=13200 x2=4400 解得x=±=±66.33 但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.99米,宽为66.33米. 2.探究活动 对于正数x和y,有下列命题: (1)若x+y=2,则≤1 (2)x+y=3,则≤ (3)若x+y=6,则≤3 根据以上三个命题所提供的规律猜想: (1)若x+y=9,则≤ . (2)若对于任意正数a.b,总有≤ . 分析:当x+y=3时,有≤,从中发现分母为2,分子为x.y的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则≤=1.当x+y=6时, ≤=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a时,则≤,即≤ ∴x+y=9时,则≤, ≤ 由此得a+b≥2, 即(-)2≥0

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