摘要：2．进一步掌握推理证明和方法.发展演绎推理能力. 过程与方法目标: 1经历探索.猜测.证明的过程.学会运用本节定理进行证明.
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【老题重现】求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB边上的高线．
求证：PE+PF=CD
证明：连接AP，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
| AB×PE |
| 2 |
| AC×PF |
| 2 |
| AB×CD |
| 2 |
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题：
求证：等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高．
已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．
求证：PD+PE+PF=AH
证明：
方法（一）类比：通过类比上题的思路和方法，模仿上题的“面积法”解决本题．
连接AP，BP，CP
方法（二）化归：如图，通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN，化“新题”为“老题”，直接利用“老题重现”的结论解决问题．
过点P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．
【提炼运用】
已知：点P是等边△ABC内任意一点，设到三边的距离分别为a、b、c，且使得以a、b、c为边能够构成三角形．
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置，并对这些位置加以说明．
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阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=
（m2-1）和c=
（m2+1）是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树 棵．
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我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树
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已知，关于x的不等式ax+b＞0（其中a≠0）
（1）当a=2，b=6时，求ax+b＞0的解集；
（2）当a=-4，b=10时，求ax+b＞0的正整数解；
（3）小明为了进一步掌握解不等式的知识，准备了3张大小完全相同的不透明卡片，正面分别写有整数2，-2，3．把它们放在桌面上，从中任意取两张，将取出的两张卡片上的数分别作为a和b，请你写出使该不等式没有负数解的概率．
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（1）当a=2，b=6时，求ax+b＞0的解集；
（2）当a=-4，b=10时，求ax+b＞0的正整数解；
（3）小明为了进一步掌握解不等式的知识，准备了3张大小完全相同的不透明卡片，正面分别写有整数2，-2，3．把它们放在桌面上，从中任意取两张，将取出的两张卡片上的数分别作为a和b，请你写出使该不等式没有负数解的概率．
26、老师出了如下的题：（1）首先，要求你按图1回答以下问题
①若∠DEC+∠ACB=180°，可以得到哪两条线段平行？（2分）
②在①的结论下，如果∠1=∠2，又能得到哪两条线段平行，请说明．（2分）
解：（1）①
DE
∥BC
．②
GF∥DC
．（2）接着，老师另画了一个图2
①要求你在图2中按下面的语言继续画图：（画图工具和方法不限）过A点画AD⊥BC于D，过D点画DE∥AB交AC于E，在线段AB上任取一点F，以F为顶点，FB为一边，画∠BFG=∠ADE，∠BFG的另一边FG与线段BC交于点G．
②请你按照①中画图时给出的条件，完整证明：FG⊥BC．
如图a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，点E、F分别是两腰AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2，某同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：
①当
=
时，有EF=
；
当
=
时，有EF=
；
当
=
时，有EF=
；
当
=
时，有EF=
；
②当
=
时，有EF=
；当
=
时，有EF=
；
当
=
时，有EF=
；当
=
时，有EF=
．
根据以上结论，解答下列问题：
（1）猜想当
=
和
=
时，分别能得到什么结论（其中m、n均为正整数）？
（2）进一步猜想当
=
时，有何结论（其中m、n均为正整数）？并证明你的结论；
（3）如图b，有一块梯形耕地ABCD，AB∥CD，CD=100米，AB=300米，AD=500米，在AD上取两点E、F，使DE=200米，EF=150米，分别从E、F两处为起点开挖两条平行于两底的水渠，直到另一腰，求这两条水渠的总长度．
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①当
| d1 |
| d2 |
| 1 |
| 1 |
| a+b |
| 2 |
当
| d1 |
| d2 |
| 1 |
| 2 |
| a+2b |
| 3 |
当
| d1 |
| d2 |
| 1 |
| 3 |
| a+3b |
| 4 |
当
| d1 |
| d2 |
| 1 |
| 4 |
| a+4b |
| 5 |
②当
| d1 |
| d2 |
| 2 |
| 1 |
| 2a+b |
| 3 |
| d1 |
| d2 |
| 3 |
| 1 |
| 3a+b |
| 4 |
当
| d1 |
| d2 |
| 4 |
| 1 |
| 4a+b |
| 5 |
| d1 |
| d2 |
| 5 |
| 1 |
| 5a+b |
| 6 |
根据以上结论，解答下列问题：
（1）猜想当
| d1 |
| d2 |
| 1 |
| n |
| d1 |
| d2 |
| m |
| 1 |
（2）进一步猜想当
| d1 |
| d2 |
| m |
| n |
（3）如图b，有一块梯形耕地ABCD，AB∥CD，CD=100米，AB=300米，AD=500米，在AD上取两点E、F，使DE=200米，EF=150米，分别从E、F两处为起点开挖两条平行于两底的水渠，直到另一腰，求这两条水渠的总长度．
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