命题方程有两个不等的正实数根， 命题方程无实数根。若“或”为真命题，求的取值范围。

【解析】本试题主要考查了命题的真值问题，以及二次方程根的综合运用。

解：“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或q和p都是真命题

当p为真命题时，则，得；

当q为真命题时，则

当q和p都是真命题时，得

若关于的方程有实根，求的取值范围。

变题1：设有两个命题：①关于的方程有解；②函数是减函数。当①与②至少有一个真命题时，实数的取值范围是＿＿

变题2：方程的两根均大于1，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿。

（14分）

已知函数（），且方程有两个实数根为；

（1）求函数的解析式。

（2）当时，若恒成立，求的取值范围。

（3）设，解关于的不等式：

已知，设和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3. 当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真即可。

解：由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

解得实数m的取值范围是(4,8]