已知函数的图象为曲线.

   （I）若曲线上存在点，使曲线在点处的切线与轴平行，求的关系；

   （II）说明函数可以在和时取得极值，并求此时的值；

   （III）在满足(2)的条件下，在时恒成立，求的取值范围.

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（I）求实数b、c的值；
（II）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（III）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴．若存在请证明，若不存在说明理由．

已知函数，其中e为自然对数的底数．
（I）若函数f（x）在[1，2]上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（II）设曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线为l．试问：是否存在正实数a，使得函数y=f（x）的图象被点P分割成的两部分（除点P外）完全位于切线l的两侧？若存在，请求出a满足的条件，若不存在，请说明理由．