如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝1，AC＝AA₁＝，∠ABC＝60°.

(1)证明：AB⊥A₁C；

(2)求二面角A－A₁C－B的余弦值．

（12分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。

    （1）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

    （2）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由。

（12分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。

    （1）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

    （2）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由。

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝CC₁＝1，P是BC₁上一动点，则的最小值是_____．

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.