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并制成如下频率分布表：
| 分组 | 频数 | 频率 |
| [70，80） | 4 | 0.04 |
| [80，80） | 6 | 0.06 |
| [90，100） | 20 | 0.20 |
| [100，110） | 22 | 0.22 |
| [110，120） | 18 | b |
| [120，130） | a | 0.15 |
| [130，140） | 10 | 0.10 |
| [140，150） | 5 | 0.05 |
| 合计 | c | 1 |
（Ⅱ）为了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生的成绩，并从这6名学生中再随机抽取2名，与心理老师面谈，求第七组至少有一名学生与心理老师面谈的概率’
（Ⅲ）估计该校本次考试的数学平均分．
在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，
又因为
,
………………2分
又
，得证。
第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则
的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，
又因为,又
………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
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| 平面几何选讲 | 极坐标与参数方程 | 不等式选讲 | 合计 | |
| 男同学（人数） | 12 | 4 | 6 | 22 |
| 女同学（人数） | 0 | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 12 | 12 | 18 | 42 |
| 几何类 | 代数类 | 合计 | |
| 男同学（人数） | 16 | 6 | 22 |
| 女同学（人数） | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 24 | 18 | 42 |
（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽取到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表仅供参考：
| P（x2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| 平面几何选讲 | 极坐标与参数方程 | 不等式选讲 | 合计 | |
| 男同学（人数） | 12 | 4 | 6 | 22 |
| 女同学（人数） | 0 | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 12 | 12 | 18 | 42 |
| 几何类 | 代数类 | 合计 | |
| 男同学（人数） | 16 | 6 | 22 |
| 女同学（人数） | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 24 | 18 | 42 |
（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽取到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表仅供参考：
| P（x2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（本小题满分12分）
某校共有800名学生，高三一次月考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：
|
组号 |
第 一 组 |
第 二 组 |
第 三 组 |
第 四 组 |
第 五 组 |
第 六 组 |
第 七 组 |
第 八 组 |
合计 |
|
分组 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
频数 |
4 |
6 |
20 |
22 |
18 |
|
10 |
5 |
|
|
频率 |
0.04 |
0.06 |
0.20 |
0.22 |
|
0.15 |
0.10 |
0.05 |
1 |
(Ⅰ) 李明同学本次数学成绩为103分，求他被抽中的概率
；
(Ⅱ) 为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生的成绩，并在这6名学生中在随机抽取2名由心理老师张老师负责面谈，求第七组至少有一名学生与张老师面谈的概率；
(Ⅲ) 估计该校本次考试的数学平均分。
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