摘要： [解答] = pe--2ln e = qe--2. Þ = 0 而 e + ≠0.∴ p = q ---- 2分 知 f (x) = px--2ln x. f’(x) = p + -= 令 h(x) = px 2-2x + p.要使 f (x) 在其定义域 内为单调减函数.只需 h 内满足h’(x)≤0 恒成立. ---- 4分① 当 p = 0时. h(x) = -2x.∵ x > 0.∴ h = - < 0.∴ f 内为单调递减.故 p = 0适合题意. ---- 5分②当 p < 0时.h(x) = px 2-2x + p.其图象为开口向下的抛物线.对称轴为 x = Ï 只需 h(0)≤0.即 p≤0时 h 恒成立.故 p < 0适合题意. 综上可得. p≤0 ---- 7分另解:(II) 由 = px--2ln x. f’--- 4分要使 f (x) 在其定义域 内为单调减函数.只需 f’ 内满足f’(x)≤0 恒成立. ---- 5分由 f’(x)≤0 Û p -≤0 Û p≤ Û p≤()min.x > 0而 > 0 且 x → 0 时.→ 0.故 p≤0.综上可得p≤0 ---- 7分(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是减函数.∴ x = e 时.g(x)min = 2.x = 1 时.g(x)max = 2e即 g(x) Î [2,2e] ① p≤0 时.由 在 [1,e] 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2.不合题意. -- 9分② 0 < p < 1 时.由x Î [1,e] Þ x-≥0.∴ f -2ln x≤x--2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式.故在 [1,e] 递增∴ f (x)≤x--2ln x≤e--2ln e = e--2 < 2.不合题意. ---- 10分③ p≥1 时. f (x) 在 [1,e] 连续递增.f 在 [1,e] 上是减函数∴ 本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2.x Î [1,e] Þ f (x)max = f -2ln e > 2 Þ p > 综上.p 的取值范围是 ---- 12分

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