1. 构造向量，，所以，.由数量积的性质，得，即的最大值为2.

2. ∵，令得，所以，当时，，当时，，所以当时，.

3.∵，∴，，又，∴，则，所以周期.作出在上的图象知：若，满足条件的（）存在，且，关于直线对称，，关于直线对称，∴；若，满足条件的（）存在，且，关于直线对称，，关于直线对称，

∴. 

4. 不等式（）表示的区域是如图所示的菱形的内部，

∵，

当，点到点的距离最大，此时的最大值为；

当，点到点的距离最大，此时的最大值为3.

5. 由于已有两人分别抽到5和14两张卡片，则另外两人只需从剩下的18张卡片中抽取，共有种情况.抽到5 和14的两人在同一组，有两种情况:

(1) 5 和14 为较小两数，则另两人需从15～20这6张中各抽1张,有种情况；

(2) 5 和14 为较大两数，则另两人需从1～4这4张中各抽1张,有种情况.

于是，抽到5 和14 两张卡片的两人在同一组的概率为.

6. ∵，∴，

设，，则.

作出该不等式组表示的平面区域（图中的阴影部分）.

令，则，它表示斜率为的一组平行直线，易知，当它经过点时，取得最小值.

解方程组，得，∴