20．(本题满分13分)

　　　　 解：(1)当时，

　　　　 函数

　　　　 曲线在点处的切线的斜率为

　　　　 　1分

　　　　 从而曲线在点处的切线方程为

　　　　 即

　 (2) 3分

　　　　 令，要使在定义域(0，∞)内是增函　　　　　　　　　　　　

　　　　 只需在(0，+∞)内恒成立　　 4分

　　　　 由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

　　　　 ，

　　　　 只需时，

　　　　 在(0，+∞)内为增函数，正实数的取值范围是　 6分

　 (3)上是减函数，

　　　　 时，

　　　　 ，

　　　　 即　 1分

　　　　 ①当时，

　　　　 其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，

　　　　 且，所以内是减函数。

　　　　 当时，在

　　　　 因为，

　　　　 所以

　　　　 此时，内是减函数。

　　　　 故当时，上单调递减

　　　　 ，不合题意；

　　　　 ②当时，由

　　　　 所以

　　　　 又由(2)知当时，上是增函数，

　　　　 ，不合题意；　 11分

　　　　 ③当时，由(2)知上是增函数，

　　　　 又上是减函数，

　　　　 故只需

　　　　 而

　　　　 即

　　　　 解得，

　　　　 所以实数的取值范围是。　 13分

　　　　 注：另有其它解法，请酌情给分。

20．(本题满分13分)

　　　　 已知函数

　 (1)若，求曲线处的切线；

　 (2)若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

　 (3)设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

19．(本题满分14分)

　　　　 解：(1)设椭圆的半焦距为c，

　　　　 依题意

　　　　 解得

　　　　 由 2分

　　　　 所求椭圆方程为　 3分

　 (2)

　　　　 设，

　　　　 其坐标满足方程

　　　　 消去并整理得

　　　　 　 4分

　　　　 则(*)　 5分

　　　　 故　　 6分

　　　　 经检验满足式(*)式　 8分

　 (3)由已知，

　　　　 可得　　 9分

　　　　 将代入椭圆方程，

　　　　 整理得

　　　　 　10分

　　　　 　11分

　　　　 　 12分

　　　　 当且仅当，

　　　　 即时等号成立，

　　　　 经检验，满足(*)式

　　　　 当时，

　　　　 综上可知13分

　　　　 当|AB最大时，的面积最大值　 14分

19．(本题满分14分)

　　　　 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。

　 (1)求椭圆的方程；

　 (2)求的值(O点为坐标原点)；

　 (3)若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。

18．(本题满分13分)

　 (1)解：

　　　　 　 2分

　　　　 　4分

　 (2)证明：

　　　　 是首项为，

　　　　 公比为-1的等比数列。 7分

　　　　 ，

　　　　 即

　　　　 的通项公式为

　　　　 所以当是奇数时，

　　　　 　 10分

　　　　 当是偶数时，

　　　　 　 12分

　　　　 综上，　 13分

18．(本题满分13分)

　　　　 在数列中，

　 (1)求的值；

　 (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

　 (3)求数列。

22.(1) 　　…………… 4分

(2)已知式即, 故

　　　　　 因为, 当然, 所以.

　　　　　 由于, 且, 故.

　　　　 　于是, ,

　　　　　 所以.……………………………………8分

(3) 由, 得,

　　 故.

　　 从而.

　　 .

因此

设

故.

注意到, 所以.

特别地, 从而.

所以.……………………………………14分

　 ……….. 14分.

22． (本题满分14分)已知数列的前项和，且，其中，　　 (1)求，并猜想数列的通项公式；

(2)求证：数列是等差数列；

(3)设数列满足，为的前项和，求证：

；

21. 解：(Ⅰ)设为曲线上任意一点，依题意(2分)

化简：，为椭圆，其方程为(4分)

(Ⅱ)设直线，

由 消去得：　 (6分)

设，中点，

则，

　　　 =　　 ………( 1)

依题意：，与夹角为，为等边三角形，

，即，………(2)

由(2)代入(1)：，

又为等边三角形，到距离，

即 　解得： ，，

经检验,使方程有解，所以直线的方程为： (12分)

21．(本题满分12分)已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是。　 (I)求曲线的方程；

(II)设为曲线与轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为的直线，与曲线相交于两点，使，且与夹角为?若存在，求出值，并写出直线的方程；若不存在，请说明理由。