1.　　 设定义在R上的函数(其中∈R，i=0,1,2,3,4)

当x= －1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点(－1，0)对称．

(1)求f (x)的表达式；(2)试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；(3)若，求证：

解：(1)…………………………5分

(2)或…………10分

(3)用导数求最值，可证得……15分

3. 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.(I)求证数列是等比数列；(II)设数列的公比，数列满足：

，试问当m为何值时，成立？

解：(I)由已知　　 　　(2)

由得：，即对任意都成立

(II)当时，

　 _K^S*5U.C#O%

　　=1

由题意知，　 　　 13分

2.垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A₁、A₂分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A₁M与A₂N交于点P(x₀，y₀)_K^S*5U.C#O%

(Ⅰ)证明：(Ⅱ)过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.

解(Ⅰ)证明：

　①直线A₂N的方程为 ②…4分

①×②，得

(Ⅱ)

……10分_K^S*5U.C#O%

当……12分

1.已知函数

(Ⅰ)若

(Ⅱ)若

(Ⅲ)若的大小关系(不必写出比较过程).

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)设，

……6分

(Ⅲ)在题设条件下，当k为偶数时,当k为奇数时……4分

3.已知

(I)已知数列极限存在且大于零，求(将A用a表示)；(II)设

(III)若都成立，求a的取值范围.

解：(I)由

(II)

(III)

　_K^S*5U.C#O

(i)当n=1时结论成立(已验证).

(ii)假设当

故只须证明 _K^S*5U.C#O

即n=k+1时结论成立.

根据(i)和(ii)可知结论对一切正整数都成立

故

2．如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：(Ⅰ)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依题意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²， ①得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k_切= x₁，∴直线l的斜率k_l=－=-

∴直线l的方程为y－x₁²=－ (x－x₁)，

方法一：联立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.

∵M是PQ的中点∴x₀==-，y₀=x₁²－(x₀－x₁).　　　 　　　

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0). _K^S*5U.C#O

方法二：由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

则x₀==k_l=-，∴x₁=－，将上式代入②并整理，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则.由y=x² 及y=kx+b 消去x，得y²－2(k²+b)y+b²=0.　　 ③则y₁+y₂=2(k²+b)，y₁y₂=b².　　 　　　　　　　

方法一：∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，∴的取值范围是(2，+).

方法二：∴=|b|=|b|.

当b>0时，=b==+2>2；

当b<0时，=－b=.

又由方程③有两个相异实根，得△=4(k²+b)²-4b²=4k²(k²+2b)>0，于是k²+2b>0，即k²>－2b.所以>=2.∵当b>0时，可取一切正数，

∴的取值范围是(2，+).方法三：由P、Q、T三点共线得k_TQ=K_TP，

即=.则x₁y₂－bx₁=x₂y₁－bx₂，即b(x₂－x₁)=(x₂y₁－x₁y₂).于是b==－x₁x₂.

∵可取一切不等于1的正数，∴的取值范围是(2，+).

1.已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A；(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.　　　　 ①

设(x)=x²－ax－2，

方法一：

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.　　　

方法二：或

0≤a≤1或－1≤a≤0－1≤a≤1.

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

(Ⅱ)由=，得x²－ax－2=0，　 ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，　 x₁+x₂=a，x₁x₂=－2，

∴ 从而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3. _K^S*5U.C#O

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.　　 ②

设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

② g(－1)=m²－m－2≥0且g(1)=m²+m－2≥0m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：当m=0时，②显然不成立；_K^S*5U.C#O

当m≠0时，② m>0且 g(－1)=m²－m－2≥0或m<0且g(1)=m²+m－2≥0 m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

3.已知数列中，，当时，其前项和满足，

(1)求的表达式及的值；(2)求数列的通项公式；(3)设，求证：当且时，.

解：(1)

所以是等差数列.则..

(2)当时，，综上，.

(3)令，当时，有　　　　 (1)

法1：等价于求证.

当时，令

，则在递增.

又，所以即.

法(2)(2)_K^S*5U.C#O%

　 (3)

因，所以

由(1)(3)(4)知. _K^S*5U.C#O%

法3：令，则

所以

因则，

所以　　 (5)

由(1)(2)(5)知

2.设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点　 为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||² = |·| ( O为坐标原点)；

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

解：(1) 设OP：y = k x,　　 又条件可设AR: y = (x – a ),

解得：= (,),　 　同理可得= (,),　　　

∴|·| =|+| =.　　　 4分

设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得m² =, n² = ,　　

∴ ||² = :m² + n² = + = ,

∵点P在双曲线上，∴b² – a²k² > 0 .　 ∴无论P点在什么位置，总有||² = |·| .　 4分_K^S*5U.C#O%

(2)由条件得：= 4ab, 　　　　2分

即k² = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 　　　　2分

1. 已知常数a > 0, n为正整数，f _n ( x ) = x ⁿ – ( x + a)ⁿ ( x > 0 )是关于x的函数.

(1) 判定函数f _n ( x )的单调性，并证明你的结论.

(2) 对任意n ³ a , 证明f `<sub>n + 1</sub> ( n + 1 ) < ( n + 1 )f<sub>n</sub>`(n)

解: (1)　 f_n `( x ) = nx ^{n – 1} – n ( x + a)^{n – 1} = n [x ^{n – 1} – ( x + a)^{n – 1} ] ,

∵a > 0 , x > 0,　 ∴ f_n `( x ) < 0 , ∴ f _n ( x )在(0，+∞)单调递减.　　　 4分

(2)由上知：当x > a>0时, f_n ( x ) = xⁿ – ( x + a)ⁿ是关于x的减函数,

∴ 当n ³ a时, 有：(n + 1 )ⁿ– ( n + 1 + a)ⁿ £ n ⁿ – ( n + a)ⁿ.　　　　　　 2分

又 ∴f `_{n + 1} (x ) = ( n + 1 ) [xⁿ –( x+ a )ⁿ ] ,

∴f `_{n + 1}( n+1) = (n+1)[(n +1)ⁿ –(n +1+a)ⁿ]<(n+1)[nⁿ–(n+a)ⁿ]=(n+1)[nⁿ–(n+a)(n+a)^n–1]　 2分

( n + 1 )f_n`(n) = ( n + 1 )n[n ^{n – 1} – ( n + a)^{n – 1} ] = ( n + 1 )[n ⁿ – n( n + a)^{n – 1} ],　　 2分

∵( n + a ) > n ,∴f `<sub>n + 1</sub> ( n + 1 ) < ( n + 1 )f<sub>n</sub>`(n) .　　　　　 2分