24、解：由时，可得：

　 (1)令 就得，

　　 ∴ ；　　　 ……………………………………………2分

　　 若，则，

　　 ∴从而的当时，；………4分

　　 且

　；即得；

∴函数在上是减函数.　　　 …………………………6分

(2)

　 由函数是上单调函数，得， ………8分

　 得到数列是等差数列，即：，又

　 ∴，即通项公式为. ……10分

(3)当......

　 ∴，，因此数列的通项公式为

　　　 ，　 ……………………………12分

　　　 可以得出数列是以为首项，以为公差的等差数列，

　　　 ∴数列前项和为：

. …………14分

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23、解：在椭圆中，

∴得到两个焦点为：，， ……2分

(1)≥，

　　 当与同向共线时取等号，即取最小值； ……4分

　　 而，

　　 ∴当点在椭圆上并在线段的延长线上时取得最小值，

　　　 的最小值为.　 …………………6分

　(2)当取得最小值时，点在直线上，可求得

　　　 直线的方程为：， ……………………8分

直线与椭圆相交于两点，联立方程

　 ，整理得到关于的一元二次方程

， …………………………………10分

∴弦长

，

∴直线被椭圆截得的弦长为. ………………12分

22、解：由题意可得的基本样本空间为

　　　　 ，　　　 ……………………………2分

　 (1)的取值为：，

于是的最大值为.　 ……………………………………4分

只有在样本上取得最大值，因此取得最大值的概率为；　 　……………………………………………6分

　 (2)由各个样本赋值可得出的分布列如下

	0	1	2	3

…………9分　

　　　 ∴可得的数学期望为

　　　　 ∴随机变量的数学期望为.　 …………………12分

21、解：(1)证明：∵平面，∥，

∴平面，则，　 ……………………2分

又平面，则

∴⊥平面　 ；…………… 4分

(2)由题意可得是的中点，连接

平面，则，

而，∴是中点 ；………6分

在中，∥，∴∥平面. ……………8分

(3)∥平面，∴∥，

而∴平面，∴平面

是中点，是中点，

∴∥且，　　　 ……………………9分

平面，∴，

∴中，，　 ………………10分

∴　　　　 …………………………11分

∴　　　　 ………………12分

20、解：由题意得：，　 ……………………1分

　　　 (1)且≥，可得

　　　　 ∴…………3分

　　　　 当时，

　　　　 ∴数列的通项公式为.　 ………………6分

　　　 (2)由题意过点的切线斜率为，则

　　　　 ∴，……9分

　　　　 ∴数列为等差数列，即

　　　　　 ∴数列的前项和为 . …………………12分

19、解：

　　　　　　 .　　 ………………2分

　　　　　 (1)当时，≤≤；

　　　　　　　 ∴的最大值为，最小值为；……5分

　　　　　 (2)时，，

，；　　　　　 …………7分

；

　　　　　　 ，则；……………9分

　　　　　　 ∵

∴.　　 ………………………12分

17、 　.　　　　　　　　 18、， .

15、 ， .　　　　　　　　　 16、　 ，.

13、19375+1250 .　　　　　　　 14、 .　　　　　

24、(本小题满分14分)

　　　　 设函数的定义域为，当时，，且对于任意的实数都有 成立，

(1)求的值，判断并证明函数的单调性；

(2)若数列满足，求的通项公式；

　 (3)如果，，求数列的前项和.

理科数学试卷答案及评分标准