3．如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形

ABCD满足条件：　　 　　　时，△PBA的面积始终保持不变。(注：

只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)。

2．(乌鲁木齐中考题)已知：AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若使CB=BD,则还需要添加什么条件___________(填出一个即可)。

1．条件开放与探索

给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] 　已知△ABC内接于⊙O，

⑴当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？

⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？

⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD＝2cm。

[解析]：⑴要使∠ACB＝90°，弦AB必须是直径，即O应是AB的中点；⑵当CD⊥AB时，结论成立；⑶由⑵知，即，可作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过D作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即得所求。

⑴当点O在AB上(即O为AB的中点)时，∠ACB是直角；

⑵∵∠ACB是直角，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD；

⑶作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD=4，过D点作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即为所求(如下图所示)。

[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设--求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。看似平常，实际上非常精彩。

[例2]　 (鄂州市中考题)如图，E、D是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明

△ABE≌△ACD，还应补充什么条件？

[解析]：这是一道条件开放题，解题关键是由AD＝AE，可

以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条

件。在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明

△ABE≌△ACD。于是可补充以下条件之一：

⑴BE＝CD(SAS)

⑵BD＝CE(此时BE＝CD)

⑶∠BAE＝∠CAD(ASA)

⑷∠BAD＝∠CAE(此时∠BAE＝∠CAD)

⑸∠B＝∠C(AAS)

⑹AB＝AC(此时∠B＝∠C)，……

[评注]：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。

　　 [例3] 　(北京市东城区)在△ABC与△A^/B^/C^/中，∠A=∠A^/，CD和C^/D^/分别为AB边和A^/B^/边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A^/B^/；　 ②AC=A^/C^/； ③CD=C^/D^/中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_____个正确的命题。

[解析]：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。

⑴若∠A=∠A^/，AB=A^/B^/，AC=A^/C^/，则得△ABC≌△A^/B^/C^/(SAS)，∴CD=C^/D^/(全等三角形对应线段相等)，可以构成真命题。

⑵当∠A=∠A^/，AB=A^/B^/，CD=C^/D^/时，不能推得△ABC与△A^/B^/C^/，或△ADC与△A^/D^/C^/全等，∴AC与A^/C^/不一定相等。

⑶同理，当∠A=∠A^/，AC=A^/C^/，CD=C^/D^/时，也不能证明AB=A^/B^/成立。

∴真命题只有1个。

[评注]：本题是探索性问题颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新的方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。

[例4]　 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么

还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：

　　 ①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

③如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

④如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

其中正确的说法有(　　 )

A．3个　　　　　　 B．4个　　　　　　 C．5个　　　　　　　 D．6个

[解析]：本题主要考查平行四边形的判定，但命题者别出心裁设计了一道给出结论和部分条件，让考生探索附加条件的各种可能性的开放型试题，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查给出的6种说法。

说法①符合平行四边形的定义；说法②符合平行四边形的判定定理4；说法③由AB∥CD和∠DAB＝∠DCB，可判断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法④可举出等腰梯形反例；说法⑤能证出BO＝CO，符合平行四边形的判定定理；说法⑥不符合平行四边形的判定定理。

应选B。

[评注]：这是一道确定以附加条件为目的的开放型试题，命题者编拟此题，旨在让考生殊途同归，起到归纳总结之作用。

[题型设计与能力训练]

6．已知一元二次方程的两个根满足，且a，b，c分别是的∠A，∠B，∠C的对边．若，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“”后，思考以下问题，请你帮助解答．

　(1)若在原题中，将方程改为，要得到，而条件“”不变，那么对应条件中的的值作怎样的改变？并说明理由．

　(2)若在原题中，将方程改为(n为正整数，)，要得到，而条件“”不变，那么条件中的的值应改为多少(不必说明理由)？

5．青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．

　(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2 700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

　(2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润(利润＝售价－进价)不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；

　(3)在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：

　按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？(通过计算求出所有符合要求的结果)

4．如图19，设抛物线交x轴于两点，顶点为．以为直径作半圆，圆心为，半圆交y轴负半轴于．

　(1)求抛物线的对称轴；

　(2)将绕圆心顺时针旋转，得到，如图20．求点的坐标；

　(3)有一动点在线段上运动，的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

3．如图18，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2 008次，点依次落在点的位置，则的横坐标________．

2．将图17(1)所示的正六边形进行分割得到图17(2)，再将图17(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图17(3)，再将图17(3)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n个图形中，共有________个正六边形．

1．观察算式：

　　 ；

　；

　；

　；

　；……

　用代数式表示这个规律(n为正整数)： ________．

25.　　 (本小题8分)(2009黄石)如图9，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB。(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，

Sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)