摘要：(1)函数有一个零点为5.即方程.有一个根为5.将代入方程得.∴.∴[2分] 由得 ∴或 由(1)知.∴不合舍去 由得[4分] 方法1:由得 ∴数列是首项为.公比为的等比数列 ∴.∴ (方法2:由---①得当时----② ①-②得 ∴()即数列是首项为.公比为的等比数列 ∵.∴---------------③ 由①得代入③整理得[6分] 知 ∴＝------8分 ∵对有.∴[8分] ∴.即 即所求S的最小值为1+n.[10分] (3)由得 ∴＝[12分] 令.则.＝ ∵函数在上为增函数.在上为减函数[14分] 当时. 当时. 当时.. 当时. ∵.且[16分] ∴当时,有最小值.即数列有最小项.最小项为 故当即时.有最大值.即数列有最大项.最大项为． [18分]
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已知函数
，
.
（Ⅰ）若函数
依次在
处取到极值.求
的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立.求正整数
的最大值.
【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。
第二问中，利用存在实数，使对任意的，不等式
恒成立转化为
，恒成立，分离参数法求解得到范围。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
转化为存在实数
，使对任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
设
，则.
设
，则
，因为，有
.
故
在区间上是减函数。又
故存在
，使得
.
当
时，有
，当
时，有
.
从而
在区间
上递增，在区间
上递减.
又
[来源:]
所以当
时，恒有
；当
时，恒有
；
故使命题成立的正整数m的最大值为5
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