摘要：. 等号成立 ． ∴时.．----------------10分 A．时.∵. ∴时．当.. 时.当.．-----------12分 B．时.． 当时.．-----------------14分 综上.时.当时..即MN与AB之间的距离为0米时.三角通风窗EMN的通风面积最大.最大面积为平方米．时.当时.. 即与之间的距离为米时.三角通风窗EMN的通风面积最大.最大面积为平方米．---------16分 20． 设函数f(x)＝x4+bx2+cx+d.当x＝t1时.f(x)有极小值． (1)若b＝-6时.函数f(x)有极大值.求实数c的取值范围, 的条件下.若存在实数c.使函数f(x)在闭区间［m-2.m+2］上单调递增.求实数m的取值范围, (3)若函数f(x)只有一个极值点.且存在t2∈(t1.t1+1).使f ′(t2)＝0.证明:函数g(x)＝f(x)-x2+t1x在区间(t1.t2)内最多有一个零点． 20解:(1)因为 f(x)＝x4+bx2+cx+d.所以h(x)＝f ′(x)＝x3-12x+c．--2分 由题设.方程h(x)＝0有三个互异的实根． 考察函数h(x)＝x3-12x+c.则h ′(x)＝0.得x＝±2． x -2 2 h ′(x) + 0 - 0 + h(x) 增 c+16 减 c-16 增 所以 故-16<c<16． ------------------5分 (2)存在c∈.使f ′(x)≥0.即x3-12x≥-c. (*) 所以x3-12x>-16. 即(x-2)2(x+4)>0(*)在区间［m-2.m+2］上恒成立． ----7分 所以［m-2.m+2］是不等式(*)解集的子集． 所以或m-2>2.即-2<m<0.或m>4． ---------9分 (3)由题设.可得存在α.β∈R.使 f ′(x)＝x3+2bx+c＝(x-t1)(x2+αx+β). 且x2+αx+β≥0恒成立． -------------------11分 又f´(t2)＝0.且在x＝t2两侧同号. 所以f´(x) ＝(x-t1)(x-t2)2． ----------------13分 另一方面. g ′(x)＝x3+(2b-1)x+t1+c ＝x3+2bx+c-(x-t1)＝(x-t1)［(x-t2)2-1］． 因为 t1 < x < t2.且 t2-t1<1.所以-1< t1-t2 < x-t2 <0． 所以 0<(x-t2)2<1.所以(x-t2)2-1<0． 而 x-t1>0.所以g ′(x)<0.所以g(x)在(t1.t2)内单调减． 从而g(x)在(t1.t2)内最多有一个零点．-------------16分

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