对于每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，…，a_n，定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁（A）：n，a₁-1，a₂-1，…，a_n-1．
对于每项均是非负整数的数列B：b₁，b₂，…，b_m，定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂（B）；
又定义S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b₁²+b₂²+…+b_m²．设A₀是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1=T₂（T₁（A_k））（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果数列A₀为5，3，2，写出数列A₁，A₂；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T₁（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当k≥K时，S（A_k+1）=S（A_k）．

对于每项均是正整数的数列A:a_1,a₂,…,a_n,定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁A．：n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1.

对于每项均是非负整数的数列B：b₁,b₂, …,b_m,定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂（B）：又定义

S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b²₁+b²₂+…+b²_m. 

设A₀是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果数列A₀为5，3，2，写出数列A₁,A₂；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T₁A．）=SA．；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当k≥K时，S(A_k+1)=S(A_k).