（本题满分12分）平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点，点满足    ，其中，且.   （1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.

（本题满分12分）平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点，点满足    ，其中，且.   （1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，—2），点C满足，其中，且，

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线（a>0，b>0）相交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围。

（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²－y²＝1.

(1)过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

(2)设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点．若l与圆x²＋y²＝1相切，求证：OP⊥OQ；