摘要： 已知正数项数列{an}和{bn}满足bn=+an,bn+1=bn(1-an+12)(n∈N*),a1=1. (1)求数列{an}和{bn}的前4项; (2)求数列{an}和{bn}的通项公式. 解:(1)∵ 对一切n∈N*都成立, 又a1=1,∴b1=+a1=. 由①②③式得 解得a2=,b2=, 同理解得a3=,b3=和a4=,b4=, ∴数列{an}的前4项为a1=1,a2=,a3=,a4=,数列{bn}的前4项为b1=,b2=,b3=,b4=. 6分 (2)由a1=1=,a2=,a3==,a4=猜想数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).④ 数学归纳法证明如下: 当n=1.2.3.4时,由前计算知公式④成立. 设n=k(k≥4)时,公式④成立,即ak=. 当n=k+1时,由①②③式得 消去bk+1得 ⑤ 又bk=+ak=+×=,把它代入⑤式解得 ak+1=, 即n=k+1时,公式④也成立. ∴对一切n∈N*,an=成立,此时bn=+an=+×=. ∴数列{an},{bn}的通项公式分别为 an=,bn=. 12分 说明:可先猜想数列{bn}的通项公式,再用数学归纳法证明,最后由②式解得{an}的通项公式.

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