摘要： 已知正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面边长为3,高为4. (1)平面ABCD内是否存在与AB不平行的直线与BC′垂直?证明你的结论. (2)求二面角A′-BC′-B′的大小. (3)求点D′到平面A′BC′的距离. 解法一:不存在. 证明:假设平面ABCD内存在与AB不平行的直线l与BC′垂直. ∵ABCD-A′B′C′D′是正四棱柱, ∴AB⊥BC′. 又AB与l相交, ∴BC′⊥平面ABCD. 又BB′⊥平面ABCD,这与“过一点只能作一条直线与一个平面垂直 相矛盾.故平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直. 4分 (2)作BH⊥BC′于H. 连结A′H. ∵A′B′⊥平面BB′C′, ∴A′H⊥BC′. ∴∠A′HB′为二面角A′-BC′-B′的平面角. 易求得B′H=, A′H=. 又A′B′=3, ∴△A′B′H中,cos∠A′HB′===. ∴∠A′HB′=arccos为所求. 8分 (3)设d为所求距离. ∵VD′-A′BC′=VB-A′C′D′, ∴S△A′BC′·d=S△A′C′D′·BB′··d=·(·32)·4d=为所求. 12分 解法二:不存在. 证明:建立如图空间直角坐标系.不妨假设平面ABCD内存在直线BE(E在AD上且与A不重合)与BC′垂直. 设E(0,t,4)(t≠0), 则=(0,t,4)-=(-3,t,0). 又==+==, ∴·=·(-3,t,0)=3t=0t=0,这与t≠0矛盾. ∴平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直. (2)如图,作A′H⊥BC′于H,连结B′H. ∵A′B′⊥平面BB′C′, ∴B′H是A′H在平面BB′C′内的射影. ∴B′H⊥BC′. ∴∠A′HB′就是二面角A′-BC′-B′的平面角. 设H(3,y,z),∵B′, ∴=(0,-y,-z). 又==, ∴· =-3y+4z. ∵⊥,∴-3y+4z=0. ① 又由 =λ,可得4y+3z-12=0. ② 解①②联立的方程组,得y=,z=. 故=-(0,,)=(3,-,-),=(-3,-,-). 又易得||=,||=. ∴cos∠A′HB′= = =. ∴∠A′HB′=arccos为所求. 8分 可知BC′⊥平面A′HB′. ∵BC′平面A′BC′, ∴平面A′HB′⊥平面A′BC′. 作B′G⊥A′H于G,则B′G⊥平面A′BC′,B′G就是点B′到平面A′BC′的距离. ∴B′G=B′H·sin∠A′HB′=·=. ∵ABCD-A′B′C′D′是正四棱柱, ∴易证点D′与点B′到平面A′BC′的距离相等. ∴为所求. 12分

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_504781[举报]