摘要： 如图.在矩形ABCD中.AD=4.AB=m(m＞4).点P是AB边上的任意一点(不与A.B重合).连结PD.过点P作PQ⊥PD.交直线BC于点Q． (1)当m=10时.是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在.求出此时AP的长,若不存在.说明理由, (2)连结AC.若PQ∥AC,求线段BQ的长 (3)若△PQD为等腰三角形.求以P.Q.C.D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式.并写出m的取值范围． [解](1) 假设当m=10时.存在点P使得点Q与点C重合. ∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°.∴∠APD+∠BPC=90°. 又∠ADP+∠APD=90°.∴∠BPC=∠ADP. 又∠B=∠A=90°.∴△PBC∽△DAP.∴. ∴.∴或8.∴存在点P使得点Q与点C重合.出此时AP的长2 或8． (2) 如下图.∵PQ∥AC.∴∠BPQ=∠BAC.∵∠BPQ=∠ADP.∴∠BAC=∠ADP.又∠B=∠DAP=90°.∴△ABC∽△DAP.∴.即.∴． ∵PQ∥AC.∴∠BPQ=∠BAC.∵∠B=∠B.∴△PBQ∽△ABC..即.∴． (3)由已知 PQ⊥PD.所以只有当DP=PQ时.△PQD为等腰三角形. ∴∠BPQ=∠ADP.又∠B=∠A=90°.∴△PBQ≌△DAP. ∴PB=DA=4.AP=BQ=. ∴以P.Q.C.D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:S四边形PQCD= S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP= ==16(4＜≤8)．

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