摘要： 如图.在平面直角坐标系中.已知抛物线经过点A(0.4).B(1.0).C(5.0).抛物线对称轴与轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴, (2)设点P为抛物线()上的一点.若以A.O.M.P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数.请你直接写出点P的坐标, (3)连接AC．探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N.使△NAC的面积最大?若存在.请你求出点N的坐标,若不存在.请你说明理由． [答案]解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为. 把点A(0.4)代入上式得:. ∴. ∴抛物线的对称轴是:． (2)由已知.可求得P(6.4)． 提示:由题意可知以A.O.M.P为顶点的四边形有两条边AO＝4.OM＝3.又知点P的坐标中.所以.MP>2,AP>2,因此以1.2.3.4为边或以2.3.4.5为边都不符合题意.所以四条边的长只能是3.4.5.6的一种情况.在Rt△AOM中..因为抛物线对称轴过点M.所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5.即PM＝5.此时点P横坐标为6.即AP＝6,故以A.O.M.P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3.4.5.6成立. 即P(6.4)． ⑶法一:在直线AC的下方的抛物线上存在点N.使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为.此时点N(.过点N作NG∥轴交AC于G,由点A(0.4)和点C(5.0)可求出直线AC的解析式为:,把代入得:.则G. 此时:NG＝-(). ＝． ∴ ∴当时.△CAN面积的最大值为. 由.得:.∴N(. -3)． 法二:提示:过点N作轴的平行线交轴于点E.作CF⊥EN于点F.则 (再设出点N的坐标.同样可求,余下过程略)

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