摘要： 如图甲.分别以两个彼此相信的正方形OABC与CDEF的边OC.OA所在直线不x轴.y轴建立平面直角坐标系(O.C.F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A.B.E三点.抛物线经过A.C两点.与x轴的另一交点为G.M是FG的中点.正方形CDEF的面积为1. (1)求B点的坐标, (2)求证:ME是⊙P的切线, (3)设直线AC与抛物线对称轴交于N.Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点.①求△ACQ周长的最小值,②若FQ＝t..直接写出s与t之间的函数关系式. 图甲 图乙 [答案]解:(1)如图甲.连接PE.PB.设PC＝n ∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1 根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n ∴BC＝2PC＝2n 而PB＝PE.PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2 又PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1 ∴5n2=(n+1)2+1 解得n1=1. ∴BC＝OC＝2 ∴B点坐标为(2.2) 知A ∵A.C在抛物线上 ∴.解之得: ∴抛物线的解析式为? ∴抛物线的对称轴为x=3.即EF所在直线 ∵C与G关于直线x=3对称.∴CF＝FG＝1 ∴MF＝FG＝ 在Rt△PEF与Rt△EMF中 . ∴.而∠PFE＝∠FEM＝90° ∴△PEF∽△EMF ∴∠EPF＝∠FEM ∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90° ∴ME与⊙P相切 (3)①如图乙.延长AB交抛物线于A′.连CA′交对称轴x=3于Q.连AQ 则有AQ＝A′Q.△ACQ周长的最小值为的长 ∵A与A′关于直线x=3对称 ∴A ∴A′C＝. 而AC= ∴△ACQ周长的最小值为 ②当Q点在F点上方时.S＝t+1 当Q点在线段FN上时.S＝1-t 当Q点在N点下方时.S＝t-1. 图乙

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