摘要： 如图所示.过点F(0.1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1.y1)和N(x2.y2)两点(其中x1＜0.x2＜0)． ⑴求b的值． ⑵求x1•x2的值 ⑶分别过M.N作直线l:y=-1的垂线.垂足分别是M1.N1.判断△M1FN1的形状.并证明你的结论． ⑷对于过点F的任意直线MN.是否存在一条定直线m.使m与以MN为直径的圆相切．如果有.请法度出这条直线m的解析式,如果没有.请说明理由． [答案]解:⑴b=1 ⑵显然和是方程组的两组解.解方程组消元得.依据“根与系数关系 得=-4 ⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形.理由如下: 由题知M1的横坐标为x1.N1的横坐标为x2.设M1N1交y轴于F1.则F1M1•F1N1=-x1•x2=4.而FF1=2.所以F1M1•F1N1=F1F2.另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°.易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1.得∠M1FF1=∠FN1F1.故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°.所以△M1FN1是直角三角形． ⑷存在.该直线为y=-1．理由如下: 直线y=-1即为直线M1N1． 如图.设N点横坐标为m.则N点纵坐标为,计算知NN1=. NF=.得NN1=NF 同理MM1=MF． 那么MN=MM1+NN1.作梯形MM1N1N的中位线PQ.由中位线性质知PQ=(MM1+NN1)=MN.即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径.所以y=-1总与该圆相切．

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