摘要： 如图D是△ABC 的边BC 的中点.过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF.E为垂足.EF与AB 的延长线相交于点F.点0 在AD 上.AO = CO.BC//EF. (1)证明:AB=AC, (2)证明:点0 是AABC 的外接圆的圆心, (3)当AB=5,BC=6时.连接BE若∠ABE=90°.求AE的长. [答案]解:(1)∵AE⊥EF. EF∥BC.∴AD⊥BC．在△ABD和△ACD中.∵BD＝CD.∠ADB＝∠ADC.AD＝AD.∴△ABD≌△ACD．(或者:又∵BD＝CD.∴AE是BC的中垂线．) (2)连BO.∵AD是BC的中垂线.∴BO＝CO．(或者:证全等也可得到BO＝CO．)又AO＝CO.∴AO＝BO＝CO．∴点O是△ABC外接圆的圆心． (3)解法1:∵∠ABE＝∠ADB=90°.∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°.∴∠ABD=∠AEB． 又∵∠BAD=∠EAB.∴△ABD∽△AEB．∴在Rt△ABD中.∵AB=5.BD=1.2BC=3.∴AD=4．∴AE= 解法2:∵AO＝BO. ∴∠ABO＝∠BAO．∵∠ABE＝90°.∴∠ABO+∠OBE＝∠BAO+∠AEB＝90°．∴∠OBE＝∠OEB.∴OB＝OE．在 Rt△ABD中.∵AB=5.BD=1.2BC=3.∴AD=4． 设 OB＝x. 则 OD＝4-x.由32+(4-x)2=x2,解得x=∴AE＝2OB＝

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