摘要： 如图.在平面直角坐标系中.O是坐标原点.点A的坐标为.点B的坐标为(0.b)(b>0)． P是直线AB上的一个动点.作PC⊥x轴.垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'(点P'不在y轴上).连结PP'.P'A.P'C．设点P的横坐标为a． (1)当b＝3时. ①求直线AB的解析式, ②若点P'的坐标是(-1.m).求m的值, (2)若点P在第一象限.记直线AB与P'C的交点为D． 当P'D:DC=1:3时.求a的值, (3)是否同时存在a.b.使△P'CA为等腰直角三角形?若存在.请求出所有满足要求的a.b的值,若不存在.请说明理由． [答案]解:(1)①设直线AB的解析式为y=kx+3. 把x＝-4.y＝0代人上式.得-4k+3＝0. ∴. ∴ ②由已知得点P的坐标是(1.m). ∴.∴. (2) ∵PP'∥AC. ∴△PP'D∽△ACB. ∴. ∴. (3)以下分三种情况讨论． ①当点P在第一象限时. i)若∠AP'C= 90°.P'A= P'C.过点P'作P'H⊥x轴于点'H.∴PP'=CH=AH=P'H =AC. ∴.∴． ∵P'H＝PC=AC.△ACP∽△AOB. ∴.即. ∴． ii)若∠P'AC=90°.P'A= CA.则PP'=AC.∴2a＝a+4.∴ a＝4． ∵P'A＝PC＝AC, △ACP∽△AOB. ∴.即.∴． iii)若∠P'CA =90°.则点P'.P都在第一象限.这与条件矛盾. ∴△P'CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形． ②当点P在第二象限时.∠P'CA为钝角.此时△P'CA不可能是等腰直角三角形． ③当点P在第三象限时.∠PAC为钝角. 此时△P'CA不可能是等腰直角三角形.∴所有满足条件的a.b的值为.

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