摘要：如图.△ABC和△CDE均为等腰直角三角形.点B.C.D在一条直线上.点M是AE的中点.下列结论:①tan∠AEC=,②S△ABC+S△CDE≥S△ACE,③BM⊥DM,④BM=DM．正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点:锐角三角函数的定义,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形,梯形中位线定理. 专题:证明题. 分析:①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知.==,然后由直角三角形中的正切函数.得tan∠AEC=.再由等量代换求得tan∠AEC=, ②由三角形的面积公式.梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab解答, ③.④通过作辅助线MN.构建直角梯形的中位线.根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答． 解答:解:∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形. ∴AB=BC.CD=DE. ∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°. ∴∠ACE=90°, ∵△ABC∽△CDE ∴== ①∴tan∠AEC=. ∴tan∠AEC=,故本选项正确, ②∵S△ABC=a2.S△CDE=b2.S梯形ABDE=(a+b)2. ∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab. S△ABC+S△CDE=(a2+b2)≥ab. ∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE,故本选项正确, ④过点M作MN垂直于BD.垂足为N． ∵点M是AE的中点. 则MN为梯形中位线. ∴N为中点. ∴△BMD为等腰三角形. ∴BM=DM,故本选项正确, ③又MN==. ∴∠BMD=90°. 即BM⊥DM,故本选项正确． 故选D． 点评:本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质.梯形的中位线定理.锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中.锐角的正弦为对边比斜边.余弦为邻边比斜边.正切为对边比邻边．

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