摘要：在△ABC中.∠A＝90°.AB＝4.AC＝3.M是AB上的动点.过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O.并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． (1)用含x的代数式表示△MNP的面积S, (2)当x为何值时.⊙O与直线BC相切? (3)在动点M的运动过程中.记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y.试求y关于x的函数表达式.并求x为何值时.y的值最大.最大值是多少? 答案:解:(1)∵MN∥BC.∴∠AMN=∠B.∠ANM＝∠C． ∴ △AMN ∽ △ABC． ∴ .即． ∴ AN＝x． ∴ =．(0＜＜4) (2)如图2.设直线BC与⊙O相切于点D.连结AO.OD.则AO =OD =MN． 在Rt△ABC中.BC ＝=5． 由(1)知 △AMN ∽ △ABC． ∴ .即． ∴ . ∴ ． 过M点作MQ⊥BC 于Q.则． 在Rt△BMQ与Rt△BCA中.∠B是公共角. ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ ． ∴ .． ∴ x＝． ∴ 当x＝时.⊙O与直线BC相切． (3)随点M的运动.当P点落在直线BC上时.连结AP.则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC.∴ ∠AMN=∠B.∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ ． AM＝MB＝2． 故以下分两种情况讨论: ① 当0＜≤2时.． ∴ 当＝2时. ② 当2＜＜4时.设PM.PN分别交BC于E.F． ∵ 四边形AMPN是矩形. ∴ PN∥AM.PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC. ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4-x． ∴ ． 又△PEF ∽ △ACB． ∴ ． ∴ ． ＝. 当2＜＜4时.． ∴ 当时.满足2＜＜4.． 综上所述.当时.值最大.最大值是2．

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