摘要：24． 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆 .如果一条直线与“蛋圆 只有一个交点.那么这条直线叫做“蛋圆 的切线．如图所示.点A.B.C.D分别是“蛋圆 与坐标轴的交点.已知点D的坐标为(0.3).AB为半圆的直径.半圆圆心M的坐标为(1.0).半圆半径为2． (1)请你求出“蛋圆 抛物线部分的解析式.并写出自变量的取值范围, (2)你能求出经过点C的“蛋圆 切线的解析式吗?试试看, (3)开动脑筋想一想.相信你能求出经过点D的“蛋圆 切线的解析式． [命题意图]本题以半圆与抛物线合成的封闭图形 “蛋圆 为背景.考查一次函数.二次函数有关性质.解题过程中涉及解一元一次方程.一元二次方程.方程组相关知识与技能.是一道综合性很强的试题. [参考答案] 解:(1)解法1:根据题意可得:A.B(3,0), 则设抛物线的解析式为(a≠0) 又点D在抛物线上.∴a=-3.解之得:a=1 ∴y=x2-2x-3·································· 3分 自变量范围:-1≤x≤3······························ 4分 解法2:设抛物线的解析式为(a≠0) 根据题意可知.A.B(3,0).D三点都在抛物线上 ∴.解之得: ∴y=x2-2x-3··································· 3分 自变量范围:-1≤x≤3······························ 4分 (2)设经过点C“蛋圆 的切线CE交x轴于点E.连结CM. 在Rt△MOC中.∵OM=1.CM=2.∴∠CMO=60°,OC= 在Rt△MCE中.∵OC=2.∠CMO=60°.∴ME=4 ∴点C.E的坐标分别为(0.). ····················· 6分 ∴切线CE的解析式为······················· 8分 (3)设过点D.“蛋圆 切线的解析式为:y=kx-3(k≠0) ············ 9分 由题意可知方程组只有一组解 即有两个相等实根.∴k=-2····· 11分 ∴过点D“蛋圆 切线的解析式y=-2x-3······ 12分 [试题来源]2008年湖南省益阳市中考数学试题

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