摘要：29．如图.在矩形ABCD中.E为AD的中点.EF⊥EC交AB于F.连结FC (AB＞AE)． (1)△AEF与△EFC是否相似?若相似.证明你的结论,若不相似.请说明理由, (2)设＝k.是否存在这样的k值.使得△AEF∽△BFC.若存在.证明你的结论并求出k的值,若不存在.说明理由． [提示](1)如图.证明△AFE≌△DGE.证出∠AFE＝∠EFC． (2)证明∠ECG＝30°.∠BCF＝30°． [答案]如图.是相似． [证明]延长FE.与CD的延长线交于点G． 在Rt△AEF与Rt△DEG中. ∵ E是AD的中点. ∴ AE＝ED． ∵ ∠AEF＝∠DEG. ∴ △AFE≌△DGE． ∴ ∠AFE＝∠DGE． ∴ E为FG的中点． 又 CE⊥FG. ∴ FC＝GC． ∴ ∠CFE＝∠G． ∴ ∠AFE＝∠EFC． 又 △AEF与△EFC均为直角三角形. ∴ △AEF∽△EFC． ① 存在．如果∠BCF＝∠AEF.即k＝＝时.△AEF∽△BCF． 证明:当＝时.＝. ∴ ∠ECG＝30°． ∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°． ∴ ∠BCF＝90°-60°＝30°． 又 △AEF和△BCF均为直角三角形. ∴ △AEF∽△BCF． ② 因为EF不平行于BC. ∴ ∠BCF≠∠AFE． ∴ 不存在第二种相似情况．

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