已知.如图10(甲).正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O.过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E. (1)求四边形CDFP——青夏教育精英家教网——

摘要：已知.如图10(甲).正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O.过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E. (1)求四边形CDFP的周长, (2)试探索P在线段MC上运动时.求AF·BP的值, (3)延长DC.FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H,是否存在点P, 使△EFO∽△EHG?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由.

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小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG = FH” 经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N ；（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ；小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索。 ……

（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图8）；

（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图9），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为

（如图10），试求EG的长度。

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