摘要：19．(本小题满分14分.第一小问满分4分.第二小问满分5分.第三小问满分5分) 在正三角形ABC中.E.F.P分别是AB.AC.BC边上的点.满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2.将△AEF沿EF折起到的位置.使二面角A1-EF-B成直二面角.连结A1B.A1P (Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP, (Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小, (Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小 [考点分析:本题主要考查线面垂直.直线和平面所成的角.二面角等基础知识.以及空间线面位置关系的证明.角和距离的计算等.考查空间想象能力.逻辑推理能力和运算能力] [解]不妨设正三角形的边长为3.则 (I)在图1中.取BE的中点D.连结DF. ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2.∴AF=AD=2.而∠A=60o.∴△ADF为正三角形. 又AE=DE=1.∴EF⊥AD. 在图2中.A1E⊥EF.BE⊥EF.∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角.∴A1E⊥BE. 又BEEF=E.∴A1E⊥面BEF.即A1E⊥面BEP. (II)在图2中.∵A1E不垂直于A1B.∴A1E是面A1BP的斜线.又A1E⊥面BEP.∴A1E⊥BP.∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影 设A1E在面A1BP内的射影为A1Q.且A1Q交BP于Q. 则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角.且BP⊥A1Q. 在△EBP中.∵BE=BP=2.∠EBP=60o.∴△EBP为正三角形.∴BE=EP. 又A1E⊥面BEP.∴A1B=A1P.∴Q为BP的中点.且EQ=.而A1E=1. ∴在Rt△A1EQ中..即直线A1E与面A1BP所成角为60o. (III)在图3中.过F作FM于M.连结QM.QF. ∵CF=CP=1.∠C=60o.∴△FCP为正三角形.故PF=1. 又PQ=BP=1.∴PF=PQ--① ∵A1E⊥面BEP.EQ=EF=.∴A1F=A1Q. ∴△A1FP△A1QP.故∠A1PF=∠A1PQ--② 由①②及MP为公共边知△FMP△QMP.故∠QMP=∠FMP=90o.且MF=MQ. ∴∠FMQ为二面角B-A1P-F的一个平面角. 在Rt△A1QP中.A1Q=A1F=2.PQ=1.∴A1P=. ∵MQ⊥A1P.∴MQ=.∴MF=. 在△FCQ中.FC=1.QC=2.∠C=60o.由余弦定理得QF=. 在△FMQ中.. ∴二面角B-A1P-F的的大小为. [注]此题还可以用向量法来解.(略)

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