摘要： 本题考查函数与绝对值不等式的综合应用.考查综合分析问题和解决问题的能力.充分考查综合应用知识的能力. 证明: ∴b=1+a+b ∴a=-1 ∴f(x)=x3-x+b 设(x0.y0)是y=f(x)的图象上的任意一点.则y0=f(x0)=x03-x0+b ∴-y0=-x03+x0-b=(-x03)-(-x0)-b ∴2b-y0=(-x03)-(-x0)+b 故点(- x0.2b-y0)也在y=f(x)的图象上 又点(x0.y0)与点(-x0.2b-y0)关于点(0.b)对称.进而有点(x0.y0)的任意性.得函数f成中心对称图形 所以函数f(x)的图象是中心对称图形.且对称中心为点 解法二: ∴b=1+a+b ∴a=-1 ∴f(x)=x3-x+b 易知y=x3-x是奇函数.它的图象关于原点对称,而函数f(x)=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上平移b个单位得到.故函数f(x)=x3-x+b的图象关于(0.b)对称 所以函数f(x)的图象是中心对称图形.且对称中心为点 (2)∵y1=x13-x1+b.y2=x23-x2+b ∴y1-y2=(x13-x1)-(x23-x2)=(x1-x2)(x12+x22+x1x2-1) ∵x1≠x2 ∴k==x12+x22+x1x2-1 ∵x1.x2∈[-1.1].x1≠x2 ∴3＞x12+x1x2+x22＞0. -1＜x12+x1x2+x22-1＜2 ∴|x12+x1x2+x22-1|＜2 即|k|＜2 (3)∵∴0≤x1＜x2≤1且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2(x1-x2)(1) 又| y1-y2|=|f(x1)- f(x2)|= f(x1)- f- f(x2)| ≤f(x1)- f- f(x2)|≤2|x1-0|+2|x2-1|=2(x1-0)+2(1-x2)=2(x1-x2)+2(2) 得: 2|y1-y2|＜2. ∴|y1-y2|＜1

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