摘要：圆周运动的临界问题 [例2](2009•安徽)过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型.它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成.B.C.D分别是三个圆形轨道的最低点.B.C间距与C.D间距相等.半径R1＝2.0 m.R2＝1.4 m.一个质量为m＝1.0 kg的小球.从轨道的左侧A点以v0＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动.A.B间距L1＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2.圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长.圆形轨道间不相互重叠.重力加速度取g＝10 m/s2.计算结果保留小数点后一位数字.试求: (1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时.轨道对小球作用力的大小, (2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道.B.C间距L应是多少, 的条件下.如果要使小球不能脱离轨道.在第三个圆形轨道的设计中.半径R3应满足的条件,小球最终停留点与起点A的距离. [解析](1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1.根据动能定理 -μmgL1-2mgR1＝ ① 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F.根据牛顿第二定律 F+mg＝m ② 由①②式解得F＝10.0 N ③ (2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v1.由题意知mg＝m ④ -μmg(L1+L)-2mgR2＝ ⑤ 由④⑤式解得L＝12.5 m ⑥ (3)要保证小球不脱离轨道.可分两种情况进行讨论: Ⅰ.轨道半径较小时.小球恰好能通过第三个圆轨道.设在最高点的速度为v3.应满足 mg＝m ⑦ -μmg(L1+2L)-2mgR3＝ ⑧ 由⑥⑦⑧式解得R3＝0.4 m Ⅱ.轨道半径较大时.小球上升的最大高度为R3.根据动能定理有 -μmg(L1+2L)-2mgR3＝0- 解得R3＝1.0 m 为了保证圆轨道不重叠.R3最大值应满足 (R2+R3)2＝L2+(R3-R2)2 解得R3＝27.9 m 综合Ⅰ.Ⅱ.要使球不脱离轨道.则第三个圆轨道半径需满足0<R3≤0.4 m 或1.0 m≤R3≤27.9 m 当0<R3≤0.4 m时.小球最终停留点与起始点A距离为L′.则-μmgL′＝0- 解得L′＝36.0 m 当1.0 m≤R3≤27.9 m时.小球最终停留点与起始点A的距离为L″.则L″＝L′-2(L′-L1-2L)＝26.0 m [思维提升]本题侧重考查圆周运动临界条件的应用.物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程.常出现一种特殊的转变状态.即临界状态.通过对物理过程的分析.找出临界状态.确定临界条件.往往是解决问题的关键. [拓展2]如图所示.用一连接体一端与一小球相连.绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动.设轨道半径为r.图中P.Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点.则以下说法正确的是 A.若连接体是轻质细绳时.小球到达P点的速度可以为零 B.若连接体是轻质细杆时.小球到达P点的速度可以为零 C.若连接体是轻质细绳时.小球在P点受到细绳的拉力可能为零 D.若连接体是轻质细杆时.小球在P点受到细杆的作用力为拉力.在Q点受到细杆的作用力为推力 [解析]本题考查竖直面内的圆周运动.束缚物是细绳.物体在最高点的最小速度为.此时细绳拉力为零.A错.C对,束缚物是细杆时.如果最高点的速度为.细杆拉力为零.如果v>.细杆为拉力.如果v<.细杆为推力.B对.D错. [例3]如图所示.两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球.两绳的另一端分别固定于轴的A.B两处.上面绳长l＝2 m.两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°.问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g＝10 m/s2)? [解析]设两细绳都被拉直时.A.B绳的拉力分别为TA.TB.小球的质量为m.A绳与竖直方向的夹角为θ＝30°.B绳与竖直方向的夹角为α＝45°.经受力分析.由牛顿第二定律得: 当B绳中恰无拉力时 FAsin θ＝mωlsin θ ① FAcos θ＝mg ② 由①②式解得ω1＝rad/s 当A绳中恰无拉力时.FBsin α＝mωlBsin θ ③ FBcos α＝mg ④ 由③④式解得ω2＝rad/s 所以.两绳始终有张力.角速度的范围是 rad/s<ω< rad/s [思维提升]此类问题中.往往是两根绳子恰无拉力时为角速度出现极大值和极小值的临界条件.抓住临界条件.分析小球在临界位置的受力情况是解决此类问题的关键. [拓展3]如图所示.一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上.其轴线沿竖直方向.母线与轴线的夹角θ＝30°.一条长为l的绳.一端固定在圆锥体的顶点O.另一端系一个质量为m的小球.小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动.试分析讨论v从零开始逐渐增大的过程中.球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况. [解析](1)临界条件:小球刚好对锥面没有压力时的速率为v0.小球受重力和绳子的拉力的合力提供向心力.则有F向＝mgtan 30° ＝m.解得v0＝ (2)当v<v0时.小球除受到重力和绳子的拉力外.还受到圆锥面的支持力.如图所示.则有 F向＝FTsin 30°-FNcos 30°＝m FTcos 30°+FNsin 30°＝mg 速度越大.支持力越小. (3)当v>v0时.小球离开锥面飘起来.设绳与轴线夹角为φ.则FTsins φ＝m 速度越大.绳与轴线夹角φ越大. 易错门诊 [例4]一内壁光滑的环形细圆管.位于竖直平面内.环的半径为R.圆管中有两个直径与细管内径相同的小球.A球的质量为m1.B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动.经过最低点时的速度都为v0.设A球运动到最低点时.B球恰好运动到最高点.若要此时两球作用于圆管的合力为零.那么m1.m2.R与v0应满足的关系式是 . [错解]依题意可知在A球通过最低点时.圆管给A球向上的弹力N1为向心力.则有 N1＝m1 ① B球在最高点时.圆管对它的作用力N2为m2的向心力.方向向下.则有 N2＝m2 ② 因为m2由最高点到最低点机械能守恒.则有 m2g2R+ ③ N1＝N2 由①②③式解得v0＝ [错因]错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析.导致漏掉重力.表面上分析出了N1＝N2.但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功--受力分析不过关. [正解]首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图.如图所示.A球在圆管最低点必受向上的弹力N1.此时两球对圆管的合力为零.m2必受圆管向下的弹力N2.且N1＝N2 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有 N1-m1g＝m1 ① 同理B球在最高点有m2g+N2＝m2 ② B球由最高点到最低点机械能守恒 2m2gR+ ③ 又N1＝N2 由①②③式解得v0＝ [思维提升]比较复杂的物理过程.如能依照题意画出草图.确定好研究对象.逐一分析就会变为简单问题.找出其中的联系就能很好地解决问题. 第 5 课时 万有引力定律及其应用 基础知识归纳

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