北京东城区2008―2009学年度高三第二学期统一练习(二)数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.考试时间120分钟.考试结束.将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前——青夏教育精英家教网——

北京东城区

2008―2009学年度高三第二学期统一练习（二）

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合的集合N的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．处连续的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本

①采用随机抽样法：抽签取出20个样本；

②采用系统抽样法：将零件编号为00，01……，99，然后平均分组抽取20个样本；

③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本。

下列说法中正确的是（）

A．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等

B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此

C．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此

D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的

4．在的系数分别为a，b，如果的值为（）

A．70 B．60 C．55 D．40

5．设数列，且对任意的，则{}的前n项和为S_n为（）

A． B． C． D．

6．已知直线l₁//平面，直线，点的距离为a，A到l₂的距离为b，A，B两点间的距离为c，则（）

A． B． C． D．

7．若则角的终边落在直线（）上（）

A． B． C． D．

8．已知P为抛物线上动点，F为抛物线的焦点，过F作抛物线在P点处的切线的垂线，垂足为G，则点G的轨迹方程为（）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9．设函数的值为 .

10．已知过原点的直线与圆（其中为参数）相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为 .

最小值为 .

12．如图，PD⊥平面在ABCD，ABCD为正方形，

PD=AD，则直线PA与直线BD所成的角

为 .

13．6个人分乘两辆不同的出租车，如果每辆

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种。

14．在圆条弦，它们的长构成等比数列{}，若a₁为过该点最短弦的长，a_n为过该点最长的弦的长，且公差，则n的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量

且。

（1）求角C的大小；

（2）若，求角A的值。

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥S―ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2M、N分别为AB，SB的中点。

（1）求证：AC⊥SB；

17．（本小题满分12分）

一个圆环直径为2m,通过铁丝BC、CA₁、CA₂、CA₃（A₁、A₂、A₃是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示。

（1）设BC长为，铁丝总长为，试写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

18．（本小题满分13分）

在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐，已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立。

（1）求恰好射击5次引爆油罐的概率；

（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及的数学期望.

19．（本小题满分13分）

如图， F为双曲线的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为菱形。

（1）求双曲线C的离心率；

20．（本小题满分14分）

已知函数（其中a为常数，），利用函数

方法如下：

对于给定的定义域中的x₁，令

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（1）当的通项公式；

（2）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。

一、选择题

1―8 DAACA CBD

二、填空题

9． 10． 11． 12． 13．50 14．5

三、解答题

15．（本小题满分13分）

解：（1）由………………2分

整理得

即……………………3分

又……………………5分

又因为，

所以…………………………6分

（2）因为，所以

故…………………………7分

由

即，

所以.

即.……………………11分

因为……………………12分

故

所以……………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（1）取AC的中点O，连结OS，OB。

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO，AC⊥OB。又平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=BC，

∴SO⊥平面ABC。

故SB在平面ABC内的射影为OB。

∴AC⊥SB.……………………6分

（2）取OB的中点D，作NE⊥CM交GM于E，连结DE，ND。

在△SOB中，N、D分别为SB，OB的中点，

∴DN//SO，又SO⊥平面ABC，

∴DN⊥平面ABC，由NE⊥CM得DE⊥CM。

故∠NED为二面角N―CM―B的平面角，………………9分

设OB与CM交于G，则G为△ABC的中心

∴DE⊥CM，BM⊥CM，

∴

在△SAC中可得，

在△SOB中，ND=

在Rt△NDE中，

∴.

∴二面角N―CM―B的大小为……………………14分

解法二：（1）取AC的中点O，连结OS，OB。

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO，AC⊥OB。

又平面SAC⊥平面ABC，

∴SO⊥平面ABC。

如图建系为O―xyz。

则A（2，0，0），B（0，2）

C（―2，0，0），S（0，0，），

M（1，），N（），

则

∴AC⊥SB.……………………6分

（2）由（1）得

设

为平面ABC的法向量，

∴

∴二面角N-CM-B的大小为……………………………………………14分

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意C，A₁，A₂，A₃四点构成一个正三棱锥，CA₁，CA₂，CA₃为该三棱锥

的三条侧棱，………………………………………………………………2分

三棱锥的侧棱……………………………………4分

于是有（0<x<2）……………………………5分

（Ⅱ）对y求导得……………………………………8分

令=0得解得或（舍），……10分

当

故当时，即BC=1.5m时，y取得最小值为6m。………………………13分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A，

则……………………………………4分

（Ⅱ）射击次数的可能取值为2，3，4，5。…………………………………5分

=；

=；

=；

=。……………………………………11分

故的分布列为

2

3

4

5

P

……………………………………………………………………………12分

E=2×+3×+4×+5×=

故所求的数学期望为………………………………………………13分

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由于四边形OFPM是菱形，故

作双曲线的右准线交PM于点H。

则…………………………………………………3分

所以离心率

整理得解得或（舍）。

故所求双曲线的离心率为2。……………………………………………5分

（Ⅱ）由得，又故。

双曲线方程为。

设P的横坐标为，由得即=a

将其带入双曲线方程

解得即 7分

，故直线AB的方程为 8分

将直线AB方程代入双曲线方程 10分

由得

解得，则

所求双曲线方程为 13分

20．（本小题满分14分）

解：（1）当时，，所以

两边取倒数，得，即=-1，又

所以数列是首项为―1，公差d= ―1的等差数列………………3分

故，

所以

即数列的通项公式为……………………4分

（2）根据题意，只需当时，方程有解，………………5分

即方程有不等式a的解

将x=a代入方程左边，左边为1，与右边不相等。

故方程不可能有解x=a。……………………7分

由，得.

即实数a的取值范围是……………………10分

（3）假设存在实数a，使处取定义域中的任一实数值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{}，

那么根据题意可知，中无解，……………………12分

即当无实数解.

由于的解。

所以对任意无实数解，

因此,

故a= ―1即为所求a的值…………………………14分