台州市2008学年第一学期高三年级期末质量评估试题
2009.01
命题:梅红卫（台州中学） 陈伟丽（路桥中学）
审题:冯海容（黄岩中学）
注意事项：
●本卷所有题目都做在答题卷上.
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式V=Sh
球的体积公式 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高
其中R表示球的半径 棱台的体积公式
棱锥的体积公式 V=Sh 其中S1, S2分别表示棱台的上底、下底面积，
h表示棱台的高
其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 如果事件A，B互斥，那么
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合=，集合={}，则
试题详情
A． B． C． D．
2. 等比数列的前项和为，若
A． B． 13 C． 12 D． 9
3．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则=
4．圆绕直线旋转一周所得的几何体的体积为
A. B. C． D.
5．右图是某学校举行十佳歌手比赛，七位评委为某选手打出
的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，
(第5题图)
A．， B．，2 C．， D．，
6．已知命题P：=，命题Q：，则命题P成立是命题Q成立的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7．用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是
8．双曲线的一条渐近线与椭圆交于点、
，则=
A. + B. C. D.
9．已知若，则的取值范围是
A. B． C． D．
10. 已知当，函数（）的值恒小于零，则正确的是
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11．命题“”的否定是 ▲ .
12．已知，则 ▲ .
13. 已知曲线与直线交于一点，那么
曲线在点处的切线方程是 ▲ .
14．根据右边程序框图，若输出的值是3，则输入的= ▲ .
15. 已知向量，，若与 共线，
则= ▲ .
16．已知，，，则与
的大小关系是 ▲ .
17. 已知图中（1）、（2）、（3）分别是一个立体模型的正视图、左视图、俯视图，这个立体模型由若干个棱长为1的小正方体组成，则这个立体模型的体积的所有可能值= ▲ .
（1） （2） （3）
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）在中，已知内角，边.设内角,面积为.
(1)若，求边的长；
(2)求的最大值.
（1）证明://平面；
（2）在棱上是否存在点，使三棱锥的
体积为？并说明理由.
20. （本小题满分14分）已知函数 ，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的
最小正整数.
21．（本小题满分15分）设，点在轴上，点在 轴上，且
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.
22．（本小题满分15分）已知定义在上的函数，其中为常数.
（1）若，求证：函数在区间上是增函数；
（2）若函数，在处取得最大值，求正数的取值范围.
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 或
18.解：（1）由正弦定理得：.………………6分
（2）的内角和 ，
………………8分
=
………………10分
，
当即时，取得最大值. ………………14分
19.(1)证明：连接,交于点，连接,得∥，
平面,平面, //平面. ………………7分
(2) 侧棱⊥底面, ⊥,过作⊥=,则∥.
,, ……12分
在棱上存在点使三棱锥的体积为，且是线段的三等分点.
………………14分
20. 解：（1）由，得. ………………6分
（2）
……………10分
要使对成立，
，故符合条件的正整数. ………………14分
21．解：（1）设，则由得为中点，所以
又得，，
所以（）. ………………6分
（2）由（1）知为曲线的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到 的距离等于其到准线的距离，即，
所以，
根据成等差数列，得， ………………10分
直线的斜率为，
所以中垂线方程为， ………………12分
又中点在直线上，代入上式得，即，
所以点. ………………15分
22.解：（1）当时，在区间上是增函数，
当时，，，
函数在区间上是增函数，
综上得，函数在区间上是增函数. ………………7分
(2)
令 ………………10分
设方程（*）的两个根为（*）式得，不妨设.
当时，为极小值，所以在[0，1]上的最大值只能为或；
当时，由于在[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为，
所以在[0，1]上的最大值只能为或， ………………12分
又已知在处取得最大值，所以
即. ………………15分
棱柱的体积公式V=Sh
其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高
Sh 其中S1,
S2分别表示棱台的上底、下底面积，
=
，集合
={
}，则
B． 
C． 
D． 
的前
项和为
，若
为纯虚数，其中
为虚数单位，则
=
B． 
C．
D． 
绕直线
旋转一周所得的几何体的体积为
B. 
C．
D. 
5．右图是某学校举行十佳歌手比赛，七位评委为某选手打出
，
B．
，
D．
=
，命题Q：
，则命题P成立是命题Q成立的
B． 
C．
D．
的一条渐近线与椭圆
交于点
、
，则
= 
+
B. 
C. 
D.
若
，则
的取值范围是 
B．
C．
D．
，函数
（
）的值恒小于零，则正确的是
B．
C．
D．
11．命题“
”的否定是 ▲ . 
，则
▲
.
与直线
交于一点
，那么
在点
的值是3，则输入的
，
，若
与 
共线，
= ▲
. 
，
，
，则
（1）
（2） （3）
中，已知内角
，边
.设内角
,面积为
.
，求边
的长；
//平面
；
上是否存在点
，使三棱锥
的
？并说明理由.
，数列
的前
均在函数
的图象上.
，
是数列
的前
对所有
都成立的
，点
是曲线
成等差数列，当
的垂直平分线与
时，求
，其中
，求证：函数
，在
处取得最大值，求正数
12.
13.
14.
16. 
17.
或
.………………6分
的内角和
，
………………8分
= 
………………10分
，
即
时，
取得最大值
.
………………14分
,交
于
点，连接
,得
，
平面
,
平面
⊥底面
, 
,过
作
⊥
,则
,
, ……12分
上存在点
的体积为
，且
，得
.
………………6分
……………10分
对
成立，
，故符合条件的正整数
. ………………14分
，则由
得
为
中点，所以
得
，
，
（
）.
………………6分
为曲线
的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点
到
，
，
成等差数列，得
， ………………10分
的斜率为
，
，
………………12分
在直线上，代入上式得
，即
，
.
………………15分
时，
在区间
上是增函数，
时，
，
，
在区间
………………10分
（*）式得
，不妨设
.
时，
为极小值，所以
在[0，1]上的最大值只能为
或
；
时，由于
处取得最大值，所以
. ………………15分