甘肃省2009年高三年级第二次高考诊断数学试题考生注意本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分为150分.考试时间120分钟. 所有试题均在答题卡上作答.其中.选择题用2B铅笔填——青夏教育精英家教网——

甘肃省2009年高三年级第二次高考诊断

数学试题

考生注意

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟。

所有试题均在答题卡上作答，其中，选择题用2B铅笔填涂，其余题咏0.5毫米黑色墨水签字笔作答。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式其中R表示球的半径

球的体积公式其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

1．设全集U为实数集R，集合，则

（）

A． B． C． D．

2．的展开式中的常数项是（）

A．-15 B．15 C．-30 D．30

3．（理科）设随机变量的值为

（）

A． B． C． D．

（文科）若的值是（）

A． B． C． D．

4．若实数满足条件，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．（理科）若函数，则此函数图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）

A．0 B．锐角 C．直角 D．钝角

（文科）若函数，则此函数图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为

（）

A．0 B．锐角 C．直角 D．钝角

6．等差数列{a_n}的公差d＜0，且，则数列{a_n}前n项和为S_n取最大值时n=（）

A．6 B．5 C．5或6 D．6或7

7．在边长为2的等边△ABC中，O为△ABC的中点，则= （）

A．-2 B．2 C．1 D．-4

8．若为锐角，则下列各式中可能成立的是（）

A． B．

C． D．

9．正四面体ABCD的棱长为1，G是底面△ABC的中点，M在线段DG上且使

∠AMB=90°。则GM的长等于（）

A． B． C． D．

10．已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，满足MF₁⊥MF₂的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是（）

A． B． C． D．

11．（理科）来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案共有（）

A．48种 B．24种 C．36种 D．96种

（文科）5人排成一行，其中甲、乙不相邻的排法有（）

A．12种 B．48种 C．72种 D．120种

12．定义在R上的函数、，其中是奇函数，且和都有反函数，

若的图像关于直线对称，g（3）=1000，则f（-7）=（）

A．1002 B．-1002 C．998 D．-998

横线上。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的

13．设地球半径为R，甲、乙两地在同一条经线上，且甲地位于北纬60°，乙地位于赤道上，

则甲乙两地的球面距离为。

14．定义一种新运算“+”为x+y=ax+by，（a、b为常数）。若1+2=5，2+3=8，那么

3+4= 。

15．（理科）4个相同的白球和3个相同的黑球，随机地排成一行，不同的排法有m种，其

中有且仅有2个黑球相邻的排法为n种，则。（用数字作答）

20090504

上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率为。

16．右图是杨辉三角的一部分，下列关于杨辉三角

的几个判断（其中）

①第k行的第r个数为；

②第k行的所有数之和是第k-1行所有数之和的

2倍；

③前k行所有数之和是2^k；

④从第k行起，将每行的第r-1个数与r个数作比，

把这些比值顺次排列，可构成等差数列。

其中正确结论的编号是（写出所有正确的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别是a、b、c，已知c边长为2，角C为

（1）求△ABC面积的最大值；

（2）若sinB=2sinA，求△ABC的周长。

18．某学校举行了一次课外文学知识竞赛，其中一道题是连线题。要求将4名不同的作家与他们所著的4本不同的著作一对一连线，每连对一条得3分，连错得-1分，有一位参赛者随记用4条线把作家与著作一对一全部连接起来。

（1）球该参赛者恰好连对一条的概率。

（2）（理科做）设为该参赛者此题的得分，求的分布列及数学期望。

（文科做）求该参赛者此题得分为非负数的概率。

19．（本小题满分12分）

如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE=CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点。

（1）求证DF∥平面ABC；

（2）求AB与平面BDF所成角的大小。

20．（本小题满分12分）

已知各项均为整数的数列{a_n}满足且的等差中

项。

（1）求数列{a_n}的通项公式；

20090504

正整数n的最小值。

（文科做）若求数列{b_n}的前n项和为S_n。

21．（本小题满分12分）

无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点。

（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；

（2）若直线l经过双曲线C的右焦点F与双曲线C交于P、Q两点，并满足，

求双曲线C的方程。

22．（本小题满分12分）

（理科做）已知函数处取得极值0.

（1）求实数的值；

（2）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m

的取值范围。

（3）证明：对任意的正整数n＞1，不等式都成立。

（文科做）设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数的两个极值点。

（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数的解析式；

（2）若，求b的最大值。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

理C

文B

C

理D

文B

C

A

B

D

C

理A

文C

B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13． 14．11 15．（理）（文）16．②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤。

17．本小题满分10分

解：（1）由余弦定理及已知条件得， 1分

∵ 3分

∴ 5分

（2）由正弦定理及已知条件得，b=2a 7分

联立方程组 9分

∴△ABC的周长为 10分

18．本小题满分12分

解：（1）记“该参赛者恰好连对一条线”为事件A。

则（理）4分（文）6分

（2）（理科）的所有可能取值为-4、0、4、12 5分

9分

的分布列为

-4

0

4

12

3/8

1/3

1/4

1/24

E= 12分

（文科）该参赛者所有可能得分为-4、0、4、12. 7分

得0分的概率为 8分

得4分的概率为 9分

得12分的概率为 10分

∴该参赛者得分为非负数的概率为 12分

19．本小题满分12分

解：（1）取AB的中点G，连接CG，FG，

则FG∥BE，且FG=BE，

∴FG∥CD，且FG=CD，2分

∴四边形FGCD是平行四边形，

∴DF∥CG，

又∵CF平面ABC，

∴DF∥平面ABC, 6分

（2）解法一：设A到平面BDF的距离为h，

由 8分

在△BDF中，

且CB=2,∴ 10分

设AB于平面BDF所成的角为，则

故AB与平面BDF所成的角为 12分

解法二：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角

坐标系，则

B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），

F（1，0，1）。…………………………………………………………………………… 8分

∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）…………………………………………… 8分

设平面BDF的一个法向量为n=（2，a，b），

∵ n⊥，n⊥，∴

即解得

∴ n=（2，1，-2）……………………………10分

又设AB与平面BDF所成的角为，则法线n与所成的角为，

∴cos()===,

即sin,故AB与平面BDF所成的角为arcsin.…………………………… 12分

20．本小题满分12分

解：（1）∵-=0,因为（）（）=0，

∵数列的各项均为正数，∴>0，∴=0，

即所以数列是以2为公比的等比数列…………………………………3分

∴是的等差中项，∴，∴

∴数列的通项公式……………………………………………… 6分

（2）由（1）及log得，，………………………………… 8分

∵…

∴-…- ①

∴-…- ②

②-①得，+…+

=……………………… （理）10分（文）12分

要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n

∴使>50成立的正整数n的最小值为5。………………………（理）12分

21．本小题满分12分

解：（1）由得（）………………1分

当时直线与双曲线无交点，这和直线与双曲线恒有公共点矛盾，

∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分

当≠2时，=恒成立，

即恒成立，

∵>0，∴，∴，……………………………………3分

∵

∵（）=2，∴ ∴

综上知………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设F（c,0）,则l:y=x-c,将x=y+c代入双曲线方程，得

整理得…………………………………………7分

设两交点为P（），Q，则

∵=∴……………………………………………………………8分

∴消去得

………………………………………………………………10分

∴>0且∴∴

∴所求双曲线C的方程为………………………………………………12分

22．本小题满分12分

（理科）解：（1）……………………………………………2分

∵x=0时，取极值0，∴………………………………………………3分

解得a=1,b=0.经检验a=1,b=0符合题意。………………………………………………4分

（2）由a=1,b=0知由

得

令则在上恰有两个不同的实数

根等价于在上恰有两个不同实数根。

当时，<0，于是在（0，1）上单调递减；

当时，>0，于是在（1，2）上单调递增。……………………7分

依题意有<0，∴…………………8分

（3）的定义域为>，

由（1）知

当单调递减。

当x＞0时，＞0，单调递增。

∴f（0）为在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）

又f（0）=0，故（当且仅当x=0，等号成立） 10分

对任意正整数n，取

故

= 12分

（文科）解：（1）∵ 1分

依题意有 3分

解得 4分

∴ 5分

（2）∵，依题意x₁、x₂是方程=0的两个根，

由∴ 7分

设

由 9分

即函数在区间（0，4）上是增函数，在区间（4，6）上是减函数

当时，有极大值为96，∴在（0，6）上的最大值是96 10分

∴b的最大值为4 12分