福建省建瓯一中2009届高三第三次调研考试数学试题命题詹振照审题黄翠珍本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.全卷满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷——青夏教育精英家教网——

福建省建瓯一中2009届高三第三次调研考试

数学试题（理科）

命题詹振照审题黄翠珍

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填写到答题卷相应位置)

1．定义集合运算:，设,则集合的真子集个数为（）

A． B． C． D．

2．下列命题错误的是（）

A．命题“若，则“的逆否命题为”若“

B．若命题，则

C．若为假命题，则，均为假命题

D．的充分不必要条件

3．若复数是虚数单位），且是纯虚数，则等于（）

A．40 B． C． D．

4. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）

A． B．

C． D．

5。要得到函数的图像，只需将函数的图像        （）
A.向右平移个单位          B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位         D. 向左平移个单位

6．在正中，若点分别是的中点，则以为焦点，且过的双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

7．已知直线交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满

足，则实数的值（）

A．2 B．－2 C．或－ D．2或－2

8. 根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）

…

…

…

(A) (B) (C) (D)

9.在数列中，如果存在非零常数T，使得对任意正整数m均成立，那么就称为周期数列，其中T叫做数列的周期。已知数列满足，且当数列周期为3时，则该数列的前2009项的和为 ( )

A . 1340 B . 1342 C . 1336 D . 1338

10。定义在上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值为（）
A．恒大于 B. 恒小于 C.可能为 D.可正可负

2,4,6

本卷包括必考题和选考题两部分．第11题到第20题为必考题，每个试题考生都必须作答；第21题为选考题，请考生根据要求选答．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把你的答案填在答题卷相应题号的横线上）

11．如右图所示，这是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．

12.设对任意实数都成立，则．

13．设是各项都是正数的等比数列的前项和，若，则公比的取值范围是

14。在技术工程上，常用到双曲线正弦函数和双曲线余弦函数，而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有关类似的性质，比如关于正、余弦函数有成立，而关于双曲正、余弦函数满足。请你运用类比的思想，写出关于双曲正弦、双曲余弦很熟的一个新关系式

15．若不等式的解集是，则以下结论中：①；②；③；④；⑤，正确结论的序号是

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分13分）在分别为角A、B、C所对的边，且

（I）求角A的大小；（II）若的周长为L，求L的最大值。

17。(本小题满分13分) 如图，三棱柱中，面，,，，为的中点。

(I)求证：面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值

18．（本小题满分13分）大量统计数据表明，某班一周内（周六、周日休息）各天语文、数学、外语三科有作业的概率如下表：

周一

周二

周三

周四

周五

语文

数学

外语

根据上表：（I）求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率；

（II）设一周内有数学作业的天数为，求随机变量的分布列和数学期望。

19.(本题满分13分) 已知抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (Ⅰ)求抛物线D的方程； (Ⅱ)已知动直线过点P(4,0),交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为线段PQ中点，求证：；（Ⅲ）是否存在垂直于轴的直线被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.

20．(本小题满分14分)若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．

(Ⅰ)求的极值； (Ⅱ) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

21.本题有⑴、⑵、⑶三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵P=，Q=，若矩阵PQ对应的变换把直线变为直线，求、的值.

（2）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）.

(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为直角坐标普通方程；

(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数值

(3) 设函数． (Ⅰ)作出函数的图象；

(Ⅱ)若不等式的解集为，求值．

一、ACBCD DDCAB

二、11。_{12。12
13。}

14。

15。②③⑤

三、16解：（I）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

（II）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

当。。。。。。。。。。。。。。 13分

17解（1）连接B₁C，交BC₁于点O，则O为B₁C的中点，

∵D为AC中点 ∴OD∥B₁A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

∴B₁A∥平面BDC₁ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

∴CC₁⊥面ABC 则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

如图以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，CB所在直线为Y轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系则C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

∴设平面的法向量为由得

，取，则。。。。。。。。。10分

又平面BDC的法向量为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

cos

∴二面角C₁―BD―C的余弦值为。。。。。。。。。13分

18解：（I）设周五有语文、数学、外语三科作业分别为事件A₁、A₂、A₃周五没有语文、数学、外语三科作业为事件A，则由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）设一周内有数学作业的天数为，则

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

所以随机变量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

故。。。。。。。。。。13分

19解:(Ⅰ)由题意,可设抛物线方程为.

由,得.抛物线的焦点为,.

抛物线D的方程为. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)设A由于O为PQ之中点,故当轴时由抛物线的对称性知。。。。。。。。。。。。。。。。。。

当不垂直轴时,设:,

由,

,,

…

(Ⅲ)设存在直线满足题意,则圆心,过M作直线的垂线,

垂足为E, 设直线与圆交于点，可得,

即 =

=

==

当时,,此时直线被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值.…12分

因此存在直线满足题意. ……13分

20解：(Ⅰ) ，

．。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

当时，．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

当时，，此时函数递减；

当时，，此时函数递增；

∴当时，取极小值，其极小值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数和的图像在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，

即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得当时恒成立．

，由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面证明当时恒成立．

令，则

，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

当时，．

当时，，此时函数递增；

当时，，此时函数递减；

∴ 当时，取极大值，也是最大值，其最大值为．

从而，即恒成立．。。。。。。。13分

∴ 函数和存在唯一的隔离直线．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二：由(Ⅰ)可知当时， (当且当时取等号) ．。。。。。7分

若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得

和恒成立，

令，则且

，即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解题步骤同解法一．

21（！）解：PQ＝，

PQ矩阵表示的变换T：满足条件

.　　所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直线任取点，则点在直线上，

故，又，得　所以　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:

直线的直角坐标方程为：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，

圆心到直线l的距离

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（法二）把（是参数）代入方程,

得,

.

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(3) 解:（Ⅰ）

函数如图所示。。。。。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）由题设知：

如图，在同一坐标系中作出函数的图象

（如图所示）又解集为.

由题设知，当或时，且即

由得：。。。。。。。。。。。。。。。。7分