江苏省泰兴市第四高级中学高三第二学期第三次月考数学试卷 2009.03.05A．必做题部分——青夏教育精英家教网——

江苏省泰兴市第四高级中学高三第二学期第三次月考

数学试卷 2009.03.05

A．必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知全集，集合，，

那么集合__________。

2..双曲线的一条准线恰好与圆x²+y²+2x=0相切，则双曲线的离心率为_________

3.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=___________.

4. 按如右图所示的流程图运算,若输入，则输出 _________

5．已知变量满足约束条件则的取值范围是____________

6．已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则BC边所在直线的方程为：___________________．　

7．若向量，且，则等于_______

8．方程的零点个数是

9．已知集合，，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素的模为的概率为______________。

10.如图，在△ABC中，己知AB＝2，BC＝3，于H，M为AH的中点，若则 .

11．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：

学科网

按如此规律下去，则__________

12．已知二次函数的值域为，则的最小值为__________

13．对于函数（），若存在闭区间

，使得对任意，恒有=（为实常数），则实数的值为．

14．设为数列的前项之和.若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值为：__________ 学科网

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.

(Ⅰ)．证明 ;

（Ⅱ）．若AC=DC,求的值.

16．如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1．

（Ⅰ）求证：PA⊥BC；

（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；

（Ⅲ）求三棱锥P-ABC的体积．

17．已知某类学习任务的掌握程度与学习时间（单位时间）之间的关系为

，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任务有如下两组数据：．

（1）试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式；

（2）若定义在区间上的平均学习效率为，问这项学习任务从哪一刻开始的2个单位时间内平均学习效率最高．

18．（本小题满分14分）已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点. （1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值；

（3）求△PAB面积的最大值。

19．已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。

（1）证明:数列是等差数列；

（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；

（3）若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数

20、已知函数f(x)=2x+alnx.

(1) 若f(x)在[1，+)上为增函数，求a的范围

(2) 若a<0，对于任意两个正数x₁、x₂总有：

(3) 若存在x[1,e]，使不等式f(x)(a+3)x―x²成立，求实数a的取值范围

B．附加题部分

21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4－1（几何证明选讲）

如图，ABCD是边长为的正方体，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点P，延长CP交AB于M.求证：（1）M是AB的中点；（2）求线段BP的长。

B．选修4－2（矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成, 求矩阵M.

C．选修4－4（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长.

D．选修4－5（不等式选讲）已知为正数，且满足，

求证：．

22．（必做题）甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任意取一张，用，分别表示甲、乙取得的卡片上的数字.

（1）求概率）；

（2）记，求的分布列与数学期望.

23．（必做题）已知正项数列中，对于一切的均有成立。

（1）证明：数列中的任意一项都小于1；

（2）探究与的大小，并证明你的结论。

泰兴市第四高级中学高三第二学期第三次月考

1．； 2. 2. 3.200 4. 3 5． 6. 7．

8．6 9．； 10. 11.1005 12.4 13. 1 14．

15．解： (1)．如图，，

　　即．

（2）．在中，由正弦定理得

　　　　由(1)得，

　　　　即．

　　　　

16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

同理可得

∵，∴

∵平面ABC，∴PA⊥BC.

(Ⅱ) 如图所示取PC的中点G，

连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点

又D、E分别为BC、AC的中点，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分

∴面ABG∥面DEF

即PC上的中点G为所求的点 …………… 9分

(Ⅲ)

17．解：（1）由题意得，

整理得，解得，

所以“学习曲线”的关系式为．

（2）设从第个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为，则

令，则，

显然当，即时，最大，

将代入，得，

所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．

18. 解：（1）由题可得，，设

则，，……………………2分

∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为. ……………………5分

（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，………6分

则BP的直线方程为：.由得，设，则，

同理可得，则，. ………………9分

所以：AB的斜率为定值. ………………10分

（3）设AB的直线方程：.

由，得，

由，得

P到AB的距离为，………………12分

则

。

当且仅当取等号

∴三角形PAB面积的最大值为。………………14分

19.解: (1)依题意有,于是.

所以数列是等差数列. 　　　　　　　　.4分

(2)由题意得,即 , () ①

所以又有. ②

由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　

由都是等差数列.

，那么得 ,

. (

故　　 1０分

(3) 当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以　　　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. 　　　　　　　　　　　

当为奇数时,有,即 ①

，当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当为偶数时,有，,同理可求得 .

；；当时，不合题意．

综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为

；；　；16分

20⑴当x≥1时，只需2+a≥0即a≥-2

⑵作差变形可得：

= (*)

x₁>0，x₂>o 从而

∴ln,又a<0 ∴（*）式≥0

即(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)

（3）可化为：

x ∴lnx≤1≤x,因等号不能同时取到，∴lnx<x,lnx―x<0

∴a≥

令, x ,

=

x,∴lnx―1―<0，且1―x≤0

从而，,所以g(x)在x上递增，从而=g(1)= ―

由题设a≥―

即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a

21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可证MB=OC=AB

（2）由△PMB∽△BMC，得,∴BP=

B、设M=，则=8=，故

=，故

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

C.求直线（）被曲线所截的弦长，将方程，分别化为普通方程：

，………(5分)

D．解：由柯西不等式可得

22、解析：（1）记“”为事件A，（）的取值共有10种情况，…………1分

满足的（）的取值有以下4种情况：

（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），

所以；

（2）随机变量的取值为2，3，4，5，的分布列是

2

3

4

5

P

…………10分

所以的期望为

23、解：（1）由得

∵在数列中，∴，∴

故数列中的任意一项都小于1

（2）由（1）知，那么，

由此猜想：（n≥2）.下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，显然成立；

②当n=k时（k≥2,k∈N）时，假设猜想正确，即，

那么，

∴当n=k+1时，猜想也正确

综上所述，对于一切，都有。