试卷类型:A饶平县第一中学2009年普通高考测试题(一)数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共4页. 第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页,答题卡共6面.满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1——青夏教育精英家教网——

试卷类型：A

饶平县第一中学2009年普通高考测试题（一）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页；答题卡共6面。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件、互斥，那么球的表面积公式

如果事件、相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是

那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知：是从集合A到集合B的一个映射，是空集，那么下列结论可以成立的是

A. B.

2.设是方程的解，则属于区间

A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）

3.已知，则椭圆与双曲线的关系是

A.它们有相同的焦点 B.它们有相同的准线

C.它们的离心率互为倒数 D.它们有且只有两个交点

4.过原点与曲线相切的直线方程是

A. B.

C. 或 D. 或

5.4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，而6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要

A.15元 B.22元 C.36元 D.72元

6.下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由向量a的性质|a|²=a²类比得到复数z的性质|z|²=z²；

③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比错误的是

A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

7.各个面都是正三角形的四面体的四个顶点都在一个表面积为的球面上，那么这个四面体的体积为

A. B. C. D.

8.定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是

（1）（2）（3）（4）（A）（B）

A. B. C. D.

饶平县第一中学2009年普通高考测试题（一）

数学（理科）

第二部分（非选择题，共110分）

注意事项：

第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色字迹钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效。

二、填空题：本大题共5小题，其中第13题是三选二的选做题，即从13题的三个小题中任选二题完成即可，若三小题都做，只计前两小题的得分，共30分．

9.函数的图象与x轴所围成的

封闭图形的面积等于 .

10.若向量a=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转得

到向量b，则b的坐标是 .

11.若，则

.

12.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果

为，则判断框中应填入的条件是 .

13.下面三道题中任选两道作答：

（1）已知圆C的参数方程为（为参数），P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是 .

（2）若，且、、三点共线，则的最小值为 .

（3）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，

AE交BC于F，则 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

14.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）画出函数在的简图；

（Ⅱ）写出函数的最小正周期和单调递增区间；试问：当x为何值时，函数有最大值？最大值是多少？

（Ⅲ）若x是△ABC的一个内角，且，试判断△ABC的形状.

15．（本小题满分12分）

设函数（），已知数列是公差为2的等差数列，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，求证：.

16．（本小题满分14分）

一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视

图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为

6的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁? 如何组拼？试证明你的结论；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁

的棱CC₁的中点为E, 求平面AB₁E与平面ABC所成二面

角的余弦值.

17．（本小题满分14分）

表一

（Ⅰ）求该考生能被第2批b志愿录取的概率；

批次

高考上线

a

b

第1批

0.6

0.8

0.4

第2批

0.8

0.9

0.5

第3批

0.9

0.95

0.8

（Ⅱ）求该考生能被录取的概率；

（Ⅲ）如果已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却未能达到第1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？

（以上结果均保留二个有效数字）

18．（本小题满分14分）

定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

（Ⅰ）试判断函数在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；

（Ⅱ）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

19．（本小题满分14分）

双曲线M的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的准线为右准线.

（Ⅰ）求双曲线M的方程；

（Ⅱ）设直线：与双曲线M相交于A、B两点，O是原点.

① 当为何值时，使得?

② 是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

饶平县第一中学2009年普通高考测试题（一）

数学（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B 2. C 3. D 4.C 5.B 6.D 7.A 8. B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9.； 10.（-1，2）； 11.0； 12.（或）；

13.（1）或；（2）16；（3）.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

14.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵

当时，其图象如右图所示.---4分

（Ⅱ）函数的最小正周期是，其单调递增区间是；由图象可以看出，当时，该函数的最大值是.--------------7分

（Ⅲ）若x是△ABC的一个内角，则有，∴

由，得

∴ ∴ ，，故△ABC为直角三角形. --------------12分

15．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

--------6分

（Ⅱ）当时，

----------12分

16．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条

侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的

正方形，高为CC₁=6，故所求体积是

------------------------4分

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，

故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，

其拼法如图2所示. ------------------------6分

证明:∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D为全等的

正方形，于是

故所拼图形成立.---8分

（Ⅲ）方法一：设B₁E，BC的延长线交于点G，

连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，

连结HB₁，则B₁H⊥AG，故∠B₁HB为平面AB₁E与

平面ABC所成二面角或其补角的平面角. --------10分

在Rt△ABG中，，则

，，

，故平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为.---14分

方法二：以C为原点，CD、CB、CC₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B₁（0，6，6），A（6，6，0）.

设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，

于是，解得. --------------------12分

取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

故平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为. ----------------14分

17．（本小题满分14分）

解：分别记该考生考上第1、2、3批分数线为事件A、B、C，被相应志愿录取为事件A_i、B_i、C_i，（i=a、b）, 则以上各事件相互独立. -------------------------------------2分

（Ⅰ）“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为

. -----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）设该考生所报志愿均未录取的概率为，则

.

∴该考生能被录取的概率为. ------------10分

表二

批次

a

b

第2批

0.9

0.05

第3批

0.048

0.0020

从表中可以看出，该考生被第2批a志愿录取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被录取. ------14分

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）∵，当时，.

∴在[1，3]上是增函数.---------------------------------3分

∴当时，≤≤，即 -2≤≤26.

∴存在常数M=26，使得，都有≤M成立.

故函数是[1，3]上的有界函数.---------------------------6分

（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1

∴

令，则.

当时，有，

∴在[0，+∞上单调递减. -------------------------------10分

故当t=0 时，有；

又，当t→+∞时，→0，

∴ ，从而有≤0，且. ∴0≤a≤1；故所求a的取值范围为0≤a≤1.---------------------------------------------14分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，

又抛物线的准线为：.

设双曲线M的方程为，依题意有，

故，又.

∴双曲线M的方程为. ------------------------4分

（Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点

联立方程组消去y得，

∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴

∴，从而有

，.

又，

∴.

① 若，则有，即 .

∴当时，使得. -----------------------------8分

② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有，

因此，当m=0时，不存在满足条件的k；------------------------------------10分

当时，由得

∵A、B中点在直线上，

∴ 代入上式得

；又， ∴

将代入并注意到，得 .

∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称.--14分

如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.