上海市杨浦区2008学年度第二学期高三学科测试数学文科试卷 2009.4(满分150分.考试时间120分钟)考生注意:本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效.必须在——青夏教育精英家教网——

上海市杨浦区2008学年度第二学期高三学科测试

数学文科试卷 　　2009.4

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意：

本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．

1．直线的倾斜角为．

2．已知全集，集合，，则= ．

3．若复数满足(其中是虚数单位)，则= ．

4．二项式展开式中系数的值是．

5．高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选

2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女

生的概率是．

6．如果某音叉发出的声波可以用函数

描述，那么音叉声波的频率是赫兹．

7．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，

则实数的值是．

8．方程的解是．

9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第

3项的值是．

10. 若经过点P（－1，0）的直线与圆

相切，则此直线的方程是 .

11．计算：= .

12．在△中，，，是边的中点，则的值是 .

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．

13．线性方程组的增广矩阵是………………………………………………（）．

A． B． C． D．

14．在直角坐标系中，已知△的顶点和，顶点在椭圆

上，则的值是…………………………………………………………………（）．

A． B． C．2 D．4

15．以依次表示方程的根，则的大小顺

序为…………………………………………………………………………………………（）．

A． B． C． D．

16．如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，

而另一个不同的两个几何体是……………………………………………………………（）．

（4）底面边长为2、高为3的正四棱柱

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（4）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.

17．(本题满分12分)

动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？

18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

已知某圆锥的体积是cm³，底面半径等于3cm．

（1）求该圆锥的高；

（2）求该圆锥的侧面积．

19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.

已知等差数列和等比数列的通项公式分别为、，（其中）．

（1）求数列前项的和；

（2）求数列各项的和；

（3）设数列满足，求数列前项的和．

20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.

已知为实数，函数，（）．

（1）若，试求的取值范围；

（2）若，求函数的最小值．

21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.

已知是抛物线上的相异两点．

（1）设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率1的直线相交于点P(4，4)，求直线AB的斜率；

（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线G，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线相交于圆锥曲线G上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；

（3）线段AB（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点．若，试用表示线段AB中点的横坐标．

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说明

1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.

2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.

4. 给分或扣分均以1分为单位.

答案及评分标准

1．； 2．； 3．； 4．； 5．（理）元；（文）0.7；

6．（理）；（文）200赫兹； 7．（理）5；（文）p=4．

8．（理）；（文）

9．； 10．（理）；（文）方程为．

11．（理）；（文）； 12．12．

13――16：A； C ； C；理B文A

17．设熊猫居室的总面积为平方米，由题意得：．… 6分

解法1：，因为，而当时，取得最大值75． 10分

所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分

解法2：=75，当且仅当，即时，取得最大值75． …… 10分

所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分

18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、． ……2分

设平面的法向量为，则，．

因为，， ……3分

，，

所以解得，取，得平面一个法向量，且． ……5分

（1）在平面取一点，可得，于是顶点到平面的距离，所以顶点到平面的距离为， ……8分

（2）因为平面的一个法向量为，设与的夹角为a，则

， ……12分

结合图形可判断得二面角是一个锐角，它的大小为．……14分

文：（1）圆锥底面积为 cm²， ……1分

设圆锥高为cm，由体积， ……5分

由cm³得cm； ……8分

（2）母线长cm， ……9分

设底面周长为，则该圆锥的侧面积=， ……12分

所以该圆锥的侧面积=cm²． ……14分

19．（理）（1）； ……3分

（2）当时，（）

， ……6分

所以，（）． ……8分

（3）与（2）同理可求得：， ……10分

设=，

则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得

，所以

． ……14分

（文）（1）设数列前项和为，则． ……3分

（2）公比，所以由无穷等比数列各项的和公式得：

数列各项的和为=1． ……7分

（3）设数列的前项和为，当为奇数时，=

； ……11分

当为偶数时，=． ……14分

即． ……15分

20．（1）即，又，2分

所以，从而的取值范围是． ……5分

（2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，8分

由解得，所以当时，函数的最小值是； ……11分

下面求当时，函数的最小值．

当时，，函数在上为减函数．所以函数的最小值为．

[当时，函数在上为减函数的证明：任取，，因为，，所以，，由单调性的定义函数在上为减函数．]

于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值． ……15分

21．（1）由解得；由解得．

由点斜式写出两条直线的方程，，

所以直线AB的斜率为． ……4分

（2）推广的评分要求分三层

一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）

例：1．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率；

2．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-k 1的直线，与过点且斜率为k的直线相交于抛物线上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；

3．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．

二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）

例：4．已知点R是抛物线上的定点．过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）

例如：5.已知抛物线上有一定点P，过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

过点P（），斜率互为相反数的直线可设为，，其中。

由得，所以

同理，把上式中换成得，所以

当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为。

（3）（理）点，设，则．

设线段的中点是，斜率为，则=．12分

所以线段的垂直平分线的方程为，

又点在直线上，所以，而，于是． ……13分

(斜率，则--------------------------------13分)

线段所在直线的方程为， ……14分

代入，整理得 ……15分

，。设线段长为，则

=

……16分

因为，所以 ……18分

即：．（）

（文）设，则

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