试题详情

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说明：

       一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则．

       二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

       三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

       四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．

1．B                  2．A                3．C            4．B                 5．C             6．B

7．C                  8．D                9．A            10．D               11．B              12．A

二、本大题:共4个小题；每小题4分，共16分.本题主要考查基础知识和基本运算．

13．           14．        15．               16．② 、④

三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：．本小题主要考查三角函数的符号，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，三角函数的图象及单调性等基本知识以及推理和运算能力．满分12分．

（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0,从而sin+cos＞0  …3分

 ∴ =sin+cos===  …………………………6分

（2）∵∴=……………………………8分

  ∴时的单调递增区间为[0，]和 [，].………………………………………12分

18．本小题主要考查直线和平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分．

解法一：（1）在直角梯形ABCD中，过点A作AN垂直BC，

垂足为N，易得BN=1，，同时四边形ANCD是矩形，

则CN=1，点N为BC的中点，所以点N与点M重合,．………2分

连结AM，

因为平面ABCD，所以,又AD∥BC，

所以SM AD．…………………………………4分

（2）过点A作AG垂直SM于点G，

易证平面SAM,

则，在RT中， ，………………………………………7分

又AD∥平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,大小值为；……………8分

（3）取AB中点E，因为是等边三角形，所以,又,得，过点E作EF垂直SB于点F，连结CF，则，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小为．………………………………………………………………………………………12分

解法二：（1）同解法一．

（2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

所以，,．

设平面SBC的法向量，则,即

，

解得，取．……………………………………………………………………………6分

又=，则点D到平面SBC的距离

．………………………………………………………………8分

（3）设平面ASB的法向量，则,即

，

解得，取．……………………………………………………………………………10分

所以，则二面角A-SB-C的大小为．………………………………12分

19．本小题主要考查排列组合与概率的基础知识，考查推理、运算能力与分类讨论思想，以及运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（1）依次成公差大于0的等差数列， 即为甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2，此时的概率；…………………………………………………………………………3分

(2)解法一:依题意知，的取值为0、1、2、3．，…………………………4分

， ………………………………………………6分

，……………………8分

，…………10分

所以，随机变量的概率分布列为：

0

1

2

3

P

数学期望为………………………………………………………12分

解法二:把甲、乙两盒的球数合并成一盒，则每次掷骰子后球放入该盒中的概率……6分

且,分布列详见解法一，…………………………………………………………………… 10分

……………………………………………………………………………………………12分

解法三:令,则；  ……………………………………………………6分

，，分布列详见解法一，…………………………………………10分

………………………………………………………………………………12分

20．本小题主要考查等比数列和等差数列的概念和性质，以及数列求和的基本运算，考查学生解决数列问题的基本技能，要求学生具备较强的解决数列问题的能力．满分12分．

解：（1）设等差数列的公差为，由  得

  ，，………………………………………………………………2分

  则  ，……………………………………………………………………………3分

， ，等比数列的公比，……………………………………………4分

  则 ， ………………………………………………………………………………5分

  ，中的每一项均为中的项；……………………………………………………6分

 （2）       ，……………………………………………………………7分

  由得：

   ，………………………………………………………………8分

      ，

     ，……………………………………………9分

 相减得：

 ，……………………………………………………………………11分

          .……………………………………………………………………12分

21．本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系；考查三角函数、方程、不等式的内容；考查解析几何思想、分析问题、解决问题的能力．满分12分．

解法一：（1）设T（x₀，y₀），由对称性，不妨设，∴，

∴且；………………………………………………………………………………1分

∵直线L椭圆E只有一个公共点T，

由椭圆E：得，求导得，……………2分

∴直线L：，得；………………………………………………3分

∵直线L在轴上的截距为，令，得，∴；

∴直线L斜率的绝对值；……………………………………………………………5分

（2）直线L：与的交点

，……………………………………………………………………………6分

设，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，………………………………………………………………………7分

当时，

∴……………………………………………………8分

；…………………………………………………………………9分

∵且，∴，…………………………10分

∵最大值为120⁰，只需令，

∴，……………………………………………………………………………………11分

∴；∴

∴椭圆E的方程为．…………………………………………………………………………12分

解法二：（1）依题意设直线L：，代入椭圆E：整理得：

（*），……………………………………………………………………2分

∵直线L椭圆E只有一个公共点T，

∴方程（*）的，………………………………………………………3分

整理得：，①

∵直线L在轴上的截距为，∴代入①得，∴；………………………5分

（2）考虑对称性，不妨设，由①得，

直线L：与的交点，…………………………6分

设，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，由①得，……………………………………………………7分

当时，

∴…………………………………………………………8分

，…………………………………………………………9分

∵且，∴，………………………………10分

∵最大值为120⁰，只需令，………………………………11分

∴；∴

∴椭圆E的方程为．…………………………………………………………………………12分

22．本小题主要考查函数、数列、不等式、导数等基础知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法．满分12分．

解：（1）令． ………………………………………1分

令

x

(0,1)

1

(1,+

  +

   0

  －

g(x)

ㄊ

   极大值0

ㄋ

根据此表可知，当x=1时，g(x)的最大值为0.            

故当x>0时，都有g(x)≤0,即lnx≤x-1.          ………………………………………………………3分

(2) 解法一：……………………………4分

①     当k<0时, ,∴h(x)在(0,+上是减函数；

又当x>0且x趋近于零时,h(x)>0.

∴此时h(x)=0在上有解．        …………………………………………………………………5分

②当k>0时, 令得 x=(∵x>0)

x

  －

   0

 +

h(x)

ㄋ

   极小值

ㄊ

根据此表,当x=,h(x)的最小值为，………6分

依题意，当≤0，即时，关于x的方程f(x)=在上有解，……7分

综上：k<0或.   ……………………………………………………………………………………8分

解法二：当x>0时，lnx=等价于…………………………………………………4分

令F(x)= 则，…………………………………………………………5分

令得.

x

+   

   0

－

F(x)

ㄊ

   极小值

ㄋ

根据此表可知, 当x=时,F(x)的最大为.………………………………………………………………6分

又当x>0且x趋近于零时,F(x)趋向于负无穷大．

依题意，当，即k<0或,时，关于x的方程f(x)=在上有解，

因此, 实数k的取值范围为k<0或.………………………………………………………………8分

(3)由(1)可知,当x>1时,.

令x=k(k,则.  ……………………………………………………………………9分

于是

=  …………………………………10分

又当m时,

.

于是.

故≤.

所以原不等式成立． …………………………………………………………………………………………14分