淮安市2006-2007学年度高三年级第四次调查测试
数 学 试 题 2007.5
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读注意事项及各题要求
1． 本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题）、填空题（第11题～第16题）、解答题（第17题～21题）三部分.本次考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷及答题卡上的指定位置.
3． 作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.
4． 如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡的指定位置。
1．已知集合，，则集合的真子集个数为 （ ）
A 32个 B 31个 C 64个 D 63个
试题详情
2．已知条件p：内是增函数，条件q：，则p是q成立的（ ）
A 充要条件 B 充分不必要条件
C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件
3．若把函数的图象沿向量平移，使所得的图象关于轴对称，则的最小值是 （ ）
A B C D
4．下列命题正确的是 （ ）
A 垂直于同一平面的两个平面互相平行
B 经过平面的一条斜线的平面与平面一定不垂直
C 若a，b是异面直线，则过直线a一定不能作与直线b垂直的平面
D 若平面，相交但不垂直，则平面内任意一条直线都与平面不垂直
5．已知等差数列的前项和为，且，则 （ ）
6．已知二项式（的展开式中含有的项， 则n的一个可能值是 ( )
A 6 B 9 C 8 D 10
7．已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
8．已知二面角的平面角为,，，为垂足，设，，
到棱的距离分别为、，当变化时，点的轨迹是 ( )
9．已知函数，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足，若实数d 是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中有可能成立的个数为 ( )
A 1 B 2 C 3 D 4
10．已知实数，其中，且，则实数对表示平面上不同点的个数为 ( )
A 个 B 个 C 个 D 个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卡的指定位置.
11．将一组样本数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得到一组新的样本数据. 若求得新的样本数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原样本数据的平均数为 ▲ ，方差为 ▲ 。
12．已知函数在区间内存在极值，则实数的取值范围为 ▲ 。
13．已知平面内的向量、满足：||=||=1， 与的夹角为，又=x+y，
，，则点的集合所表示的图形面积为 ▲ 。
14．已知椭圆上的点与（i=1,2,3）关于x轴对称，且为该椭圆的一个焦点，则 ▲ 。
15．如图为类似课本研究性学习课题《杨辉三角》中的竖直平面内一些通道，
图中粗线条均表示通道，一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落入乙处
的概率是 ▲ 。 （第15题图）
16．已知直线相切，其中m、，试写出所有满足条件的有序实数对(m，n)： ▲ 。
三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请将解题过程写在答题卡指定的方框内。
17．（本小题满分12分）
已知△ABC的面积为，且满足。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
18．（本小题满分14分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，为椭圆上的任意一点，满足的最小值为，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
19．(本小题满分14分)
如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。
1,3,5
（Ⅱ）求异面直线EG与BD所成的角；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由。
20．(本小题满分14分)
已知，函数
（Ⅰ）当t=1时，求函数在区间[0，2]的最值；
（Ⅱ）若在区间[－2，2]上是单调函数，求t的取值范围；
（Ⅲ））是否存在常数t，使得任意恒成立，若存在，请求出t，若不存在请说明理由.
21． (本小题满分16分)
设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：
① ② 是与无关的常数.
（Ⅰ）若是等差数列，是其前n项的和，，证明：；
（Ⅱ）设数列的通项为，求的取值范围；
（Ⅲ））设数列的各项均为正整数，且，试证。
命题：周志国 冯建国
审校：冯建国 刘兴东 刘其鹿
说明：
一、本解答给出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答所给分数的一半；如果后续部分的解答存在较严重的错误，则不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、每题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
二、填空题：
11．40.6,1.1 12． 13． 14．30 15． 16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
三、解答题：
17．（Ⅰ）， ① …………………2分
又， ∴ ② ……………… 4分
由①、②得 …………………………………………………………… 6分
（Ⅱ） ……………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 10分
…………………………………………………………………………12分
18．（Ⅰ）设点，则，
，
，又，
，∴椭圆的方程为： …………………………………………7分
（Ⅱ）当过直线的斜率不存在时，点，则；
当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
设，由 得：
…………………………………………10分
……13分
综合以上情形，得： ……………………………………………………14分
∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面. ……………………1分
又H为AB中点，∴EH∥PB. 又EH面EFG，PB平面EFG，
∴PB∥平面EFG. ………………………………4分
（Ⅱ）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.……6分
在Rt△MAE中， ，
同理，又GM=，………………7分
∴在△MGE中， ………………8分
故异面直线EG与BD所成的角为arccos， ………………………………9分
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB. ……………………………………10分
又∵E，F分别是PA，PD中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB. ………………………………11分
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离. ………………………………12分
设，则
在， …………………………13分
解得 故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………… 14分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
（Ⅰ） …………1分
设， 即，
……………3分
，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）∵, …………………………………………5分
， ……………………… 8分
故异面直线EG与BD所成的角为arcos. …………………………………… 9分
（Ⅲ）假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，令
∴点Q的坐标为（2－m，2，0）， ……………………………………10分
而， 设平面EFQ的法向量为，则
令， ……………………………………………………12分
又， ∴点A到平面EFQ的距离，……13分
即，不合题意，舍去.
故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………14分
20． (Ⅰ)， ………………2分
当时，， …………4分
（Ⅱ）是单调增函数； ………………6分
由是单调减函数； ………………8分
（Ⅲ）是偶函数，对任意都有成立
对任意都有成立
1°由（Ⅱ）知当或时，是定义域上的单调函数，
时，对任意都有成立 …………10分
2°当时，，由
上是单调增函数在上是单调减函数，∴对任意都有
时，对任意都有成立 ………………12分
综上可知，当时，对任意都有成立 .……14分
21、（Ⅰ）设等差数列{}的公差是，则，解得
所以 ……………………………………2分
由=－1＜0
得适合条件①；又，所以当=4或5时，取得最大值20，即≤20，适合条件②。综上所述， …………………………………………4分
（Ⅱ）因为，所以当n≥3时，，此时数列单调递减；当=1，2时，，即
因此数列中的最大项是，所以≥7………………………………………………………8分
（Ⅲ）假设存在正整数，使得成立，
由数列的各项均为正整数，可得 ……………10分
因为 ……11分
由 …13分
因为
依次类推，可得 ……………………………………………15分
又存在，使，总有，故有，这与数列（）的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意,都有成立. ………………………16分
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
，
，则集合
的真子集个数为 （ ）
内是增函数，条件q：
，则p是q成立的（ ） 
的图象沿向量
平移，使所得的图象关于
轴对称，则
的最小值是
（ ）
B 
C 
D 
的一条斜线的平面
与平面
的前
项和为
，且
，则
（ ）
B 
C 
D 
的展开式中含有
的项， 则n的一个可能值是
( )
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为( )
B
C
D 
的平面角为
,
，
，
为垂足，设
，
，
的距离分别为
、
的轨迹是
( )
，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足
，若实数d 是方程
的一个解，那么下列四个判断：①
；②
；③
；④
中有可能成立的个数为 ( )
，其中
，且
，则实数对
表示平面上不同点的个数为
( )
个
B
个
C
个
D
个
在区间
内存在极值，则实数
的取值范围为 ▲ 。
、
满足：|
，又
=x
，
，则点
的集合所表示的图形面积为 ▲ 。 
上的点
与
（i=1,2,3）关于x轴对称，且
为该椭圆的一个焦点，则
▲ 。 
相切，其中m、
，试写出所有满足条件的有序实数对(m，n)： ▲ 。 
，且满足
。
的值；
的值。
：
的左、右焦点分别为
，
的最小值为
，过
作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
两点，求
的取值范围．
如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。
，函数
在区间[0，2]的最值；
在区间[－2，2]上是单调函数，求t的取值范围；
恒成立，若存在，请求出t，若不存在请说明理由.
是满足下列两个条件的无穷数列
的集合：
②
是与
是其前n项的和，
，证明：
；
的通项为
，求
的各项均为正整数，且
，试证
。
13．
14．30 15． 
16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
， ①
…………………2分
， ∴
②
……………… 4分
…………………………………………………………… 6分
……………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 10分
…………………………………………………………………………12分
，则
，
，
，又
，
，∴椭圆的方程为：
…………………………………………7分
直线
的斜率不存在时，点
，则
；
，
，由
得：
…………………………………………10分
……13分
……………………………………………………14分
面EFG，PB
平面EFG，
，
，又GM=
，………………7分
………………8分
，
………………………………9分
，则
，
…………………………13分
故存在点Q，当CQ=
时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………… 14分
…………1分
， 即
，
……………3分
，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
,
…………………………………………5分
，
……………………… 8分
……………………………………10分
， 设平面EFQ的法向量为
，则
， ……………………………………………………12分
， ∴点A到平面EFQ的距离
，……13分
，
不合题意，舍去.
，
………………2分
时，
， …………4分
是单调增函数； ………………6分
是单调减函数； ………………8分
是偶函数，对任意
都有
成立
对任意
或
时，
是定义域上的单调函数，
时，对任意
时，
，由
上是单调增函数
在上是单调减函数，∴对任意
时，对任意
时，对任意
}的公差是
，则
，解得
……………………………………2分
=－1＜0
适合条件①；又
，所以当
取得最大值20，即
…………………………………………4分
，所以当n≥3时，
，此时数列
单调递减；当
，即
，所以
≥7………………………………………………………8分
成立，
的各项均为正整数，可得
……………10分
……11分
…13分
……………………………………………15分
，总有
，故有
，这与数列（
）的各项均为正整数矛盾！
,都有
成立. ………………………16分