湖南省衡阳市祁东县育贤中学高三文科数学试题湖南省衡阳市祁东县育贤中学高明生彭铁军邮政编码:421600本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至10小题.第Ⅱ卷11至21题.全卷共150分.考试——青夏教育精英家教网——

湖南省衡阳市祁东县育贤中学高三文科数学试题（2007年1月）

湖南省衡阳市祁东县育贤中学高明生 彭铁军邮政编码：421600

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至10小题，第Ⅱ卷11至21题。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设x，y，z是空间不同的直线或平面，对于下列四种情形，使“x⊥z且y⊥zx//y”为真命题的是（） ①x，y，z均为直线； ②x，y是直线，z是平面

③z是直线，x，y是平面； ④x，y，z均为平面.

A．①，② B．①，③ C．③，④ D．②，③

2、命题的充要条件；命题若的解集为，

那么（）

A、“P或”为假 B、“P且”为真 C、“P且?”为真 D、“?P且”为真

3、将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第6层正方体的个数是（）

A．28 B．21

C．15 D．11．

4、已知则下列结论中正确的是（）

A、函数的周期为；

B、函数的最大值为1；

C、将的图象向左平移单位后得的图象；

D、将的图象向右平移单位后得的图象；

5、已知，，若BA，则实数的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

6、设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（）

A、直线对称 B、直线对称 C、直线对称 D、直线对称

7、过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为（）

A．6 B． C．2 D．不能确定

8、函数=(0<a<b<c)的图象关于（）对称

A、x轴 B、y轴 C、原点 D、直线y=x

9、直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-by+3=0互相垂直，a,b∈R，则|ab|的最小值是（）

A．5 B.4 C.2 D.1

10、若都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（）

A、 B、 C、 D、

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，(第15小题每空2分)共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

11、2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示为{a，，1}，也可表示为{a²，a＋b，0}，则a²⁰⁰⁸＋b²⁰⁰⁸= ．

12、若点O是的外心，且，则的内角C为度；

13、函数的导数为。

14、若曲线在点P处的切线平行于直线则点P的坐标为；

的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差

数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，

且正中间的数a=1，则表中所有数的和为_____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）如图所示，以向量为边

作平行四边形，，

．

　（１）用表示；

（２）若，求的最大值．

17、（本小题满分12分）已知袋中有编号为1~9的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个小球.求：

(Ⅰ)恰好有一球编号是3的倍数的概率；

(Ⅱ)至少有一球编号是3的倍数的概率；

(Ⅲ)三个小球编号之和是3的倍数的概率.

18、（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

19、（本小题满分14分）（Ⅰ）试讨论方程（1－k）x²+（3－k²）y²=4（k∈R）所表示的曲线；

（Ⅱ）设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.

20、（本小题满分14分）已知在棱长为1的正方体中，

M，N，P分别为的中点。求异面直线

所成的角。

21、（本小题满分14分）对于函数f(x)，若存在x₀∈R,使f(x₀)=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点已知函数f(x)=ax²+(b+1)x+(b?1)(a≠0)

（1）若a=1,b=?2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值

湖南省衡阳市祁东县育贤中学高三文科数学试题（2007年1月）

一、选择题：

1、答案：D

解：②表示垂直于同一平面的两条直线互相平行；

③表示垂直于同一直线的两个平面互相平行；

2、答案：D ；

解：，非P真；又真，所以选D；

3、答案：B ；

解：本题考查了正方体堆垒问题及数列通项公式的求解.列出该数列的前几项,通过相邻项间的关系可得出该数列的规律而得出一等差数列.

由图示可得,该正方体的个数所组成的数列1,3,6,…, 其后一项减前一项得一数列2,3,4,…为一个等差数列.由此可得第6层的正方体的个数为1,3,6,10,15,21,… ,

故应选B.

4、答案：D ；

解：的图象向右平移单位后得到：，故选D；

5、答案：B ；

解：据题意可知集合A表示函数的定义域，，易化简得，由于BA，故当时，即时易知符合题意；当时，，要使BA，结合数轴知需或（经验证符合题意）或（经验证不合题意舍去），解得，故综上所述可知满足条件的的取值范围是，故答案为B；

6、答案：D ；

解：由图象变换可以得到两个图象间的关系，函数是由函数的图象向右平移一个单位得到，而是由函数的图象关于y轴对称得到再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线对称。故选D

7、答案：B ；

解：两直线平行,则其斜率相等,利用两点间直线的斜率公式可以得两字母间的关系,于是可得两点间的距离.

由题意得

所以故应选B.

8、答案：B ；

解：由于，故函数的定义域为，根据已知0<a<b<c，则易将函数解析式化简为= ，故且其定义域关于原点对称，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称。故应选B.

9、答案：C ；

解：本题考查直线的斜率,由垂直关系得两直线的斜率之积为,再由均值不等式转化转化得出不等关系式，分类讨论得出的最小值.由题意,

∵两直线互相垂直,

∴,即,

∴,则.

当时,;当时,.

综合得的最小值为. 故应选C.

10、答案：C ；

解：由题意可知，存在，使，即，从函数定义出发，画出映射帮助思考，从A到B再到C是由题意可得，如果继续对C集合中的，应用法则，则会得到，从B到C再到D的映射为，即存在，使，即函数过点，即方程有解，易知在实数集R上无解故选D。

二、填空题：

11、答案：1 ；

解：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又烦琐．这时若能发现0这个特殊元素，和中的a不为0的隐含信息，就能得到如下解法.由已知得＝0，及a≠0，所以b＝0，于是a²＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性a＝1应舍去，因而a＝－1，故a²⁰⁰⁸＋b²⁰⁰⁸＝(-1) ²⁰⁰⁸＝1．

12、答案：120度；

解：依题意可知：A、O、B、C构成平形四边形，，故的内角C为120度；

13、答案：；

解：

.

14、答案：；

解：，设，依题意可知：，又P在曲线上，故，故点P的坐标为；

15、答案：49 ；

解：本题考查用取特殊值法进行验证.由题意分析,

不妨设各个格中的数都为1, 则符合题意要求,所以表中所有数字之和为49.

三、解答题：

16、解:（１）因为

，

所以．

（２）由即，

亦即．

故，

当且仅当时取得等号．

又．

故当时有有最大值．

17、解:(Ⅰ)从九个小球中任取三个共有种取法，它们是等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A，

则.

(Ⅱ)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B，

则 .

（Ⅲ）设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C，设集合, ,则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有种，则.

18、解：设椭圆方程为

（Ⅰ）易得所求椭圆方程为.

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，解得

又由韦达定理得原点到直线的距离.

对两边平方整理得：（*）∵，

整理得：又，从而的最大值为，此时代入方程（*）得

所以，所求直线方程为：.

19、（Ⅰ）解：（1）3－k²>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；

（2） 1－k>3－k²>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；

（3）1－k=3－k²>0k=－1，表示的是一个圆；

（4）（1－k）（3－k²）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；

（5）k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.

（Ⅱ）解：依题意，设双曲线的方程为－=1（a>0，b>0）.∵e==，c²=a²+b²，∴a²=4b².

设M（x，y）为双曲线上任一点，则|PM|²=x²+（y－5）²=b²（－1）+（y－5）²=（y－4）²+5－b²（|y|≥2b）.

①若4≥2b，则当y=4时，|PM|_min²=5－b²=4，得b²=1，a²=4.从而所求双曲线方程为－x²=1.

②若4<2b，则当y=2b时，|PM|_min²=4b²－20b+25=4，得b=（舍去b=），b²=，a²=49.

从而所求双曲线方程为－=1.

20、解：如图，连结，由为中点，则从而.故AM和所成的角为所成的角，易证≌。所以，故所成的角为。又设AB的中点为Q，则又从而CN与AM所成的角就是（或其补角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角为。

21、解（1）当a=1,b=?2时，f(x)=x²?x?3，

由题意可知x=x²?x?3，得x₁=?1,x₂=3

故当a=1,b=?2时，f(x)的两个不动点为?1,3

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有两个不动点，

∴x=ax²+(b+1)x+(b?1)，

即ax²+bx+(b?1)=0恒有两相异实根

∴Δ=b²?4ab+4a＞0(b∈R)恒成立

于是Δ′=(4a)²?16a＜0解得0＜a＜1

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1

（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x₁,x₁),B(x₂,x₂)

又∵A、B关于y=kx+对称

∴k=?1 设AB的中点为M(x′,y′)

∵x₁,x₂是方程ax²+bx+(b?1)=0的两个根

∴x′=y′=，

又点M在直线上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2当且仅当2a=即a=∈(0,1)时取等号，

故b≥?，得b的最小值?

作者：湖南省衡阳市祁东县育贤中学高明生彭铁军

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