图5

（3）延长AB到H，使BH ＝OB．求证：CH是⊙O的切线．               　  

分析：（1）只要证即可，（2）要判断是梯形，只要说明DC∥AB即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求DC，再说明OBCD是菱形（3）要证明“CH是⊙O的切线”，只要证明∠OCH=即可.

解：（1）因为C是劣弧的中点，所以．因为∠DCE=∠ACD，

所以∽．　                 

（2）四边形ABCD是梯形.

证明：连接，由⑴得.因为，所以　．由已知.因为是⊙O的直径， 所以　，所以．所以. 所以.　所以四边形OBCD是菱形．所以，　所以四边形ABCD是梯形．

过C作CF垂直AB于点F，连接OC，则，所以．

所以 CF=BC×sin60=1.5.

所以．

（3）证明：连接OC交BD于点G，由（2）得四边形OBCD是菱形，

所以且．又已知OB＝BH　，所以BH平行且等于CD.所以四边形BHCD是平行四边形.所以．  所以.　所以CH是⊙O的切线．

 特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC∥AB.

跟踪练习2.

（2007四川绵阳）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC = 60°，

P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，

过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．

（1）求证：△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

参考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，∴ ∠Q = 30°，∠BCO = ∠ABC = 30°．

∵ CD是⊙O的切线，CO是半径，∴ CD⊥CO，∴ ∠DCQ =30°，∴ ∠DCQ =∠Q，

故△CDQ是等腰三角形．

（2）设⊙O的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = ABㄍ2 = 1，BC =．

∵△CDQ≌△COB，∴ CQ = BC =．于是 AQ = AC + CQ = 1 +，

进而 AP = AQㄍ2 =（1 +）ㄍ2，∴ BP = AB－AP =（3－）ㄍ2，

PO = AP－AO =（－1）ㄍ2，∴ BP:PO =．

类型3.  含统计（或概率）的代数（或几何）综合题

这类题通常为知识串联型试题，因此只要逐个击破即可.

例3．（2007?江西）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：

①        ②     ③        ④

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定

是等腰三角形吗？说说你的理由；

（2）请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有

可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片

上的等式为条件，使不能构成等腰三角形的概率．

分析：（1）只要说明BE=CE即可，从而考虑证明.（2）如果不一定成立，那么未必是等腰三角形.再根据概率定义即可得解.                                               

解：（1）能．理由：由，，，

得．.是等腰三角形．

（2）树形图：

先抽取的纸片序号

所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）.

抽取的两张纸片上的等式有12种等可能性结果，其中不能构成等腰三角形的有4种（（①③），（③①），（②④），（④②）），所以使不能构成等腰三角形的概率为．

 特别提示：不能得到“”有两种情形，一是“边边角”不能得全等，二是只能得到相似.

跟踪练习3.（2007 辽宁沈阳）．如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A₁、B₁、C₁；左视图分别是A₂、B₂、C₂；俯视图分别是A₃、B₃、C₃．

（1）请你分别写出A₁、A₂、A₃、B₁、B₂、B₃、C₁、C₂、C₃图形的名称；

（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A₁、A₂、A₃的三张卡片放在甲口袋中，画有B₁、B₂、B₃的三张卡片放在乙口袋中，画有C₁、C₂、C₃的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．

① 通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；

② 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？

解：（1）         Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　　Ｃ

（2）①树状图：

参考答案：3（1）由已知可得A₁、A₂是矩形，A₃是圆；B₁、B₂、B₃都是矩形；

C₁是三角形，C₂、C₃是矩形．　

（2）①补全树状图如下：

由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是＝ 

②游戏对双方不公平．由①可知， P_{（小刚获胜）}＝。三张卡片上的图形名称完全不同的概率是，即P_{（小亮获胜）}＝，这个游戏对双方不公平．　

类型4.  图形中的函数(方程）

这类题通常需要利用方程与函数的思想来处理，具体的说，往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式，再通过解方程或者利用函数性质来得到解决.

例4．（2007?山西临汾）如图，已知正方形与正方形的边长分别是和，它们的中心都在直线上，，在直线上，与相交于点，，当正方形沿直线 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形也绕以每秒顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．

（1）在开始运动前，         ；

（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时

运动3秒时，正方形停止旋转，这时

          ，         ；

（3）当正方形停止旋转后，正方形继续向左平移的时间为秒，两正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数表达式．

分析:（1）,,所以（2）运动3秒时，,此时A点落在上，所以AE==0,（3）重叠部分是正方形，只要用x表示出其边长即可，注意到不同情况下，边长的表示不一样，从而需要讨论.

解：（1）9．（2）0，     6．

（3）当正方形停止运动后，正方形继续向左平移时，与正方形重叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积与之间的函数关系应分四种情况：

①如图1，当时，，与之间的函数关系式为．

②如图2，当4≤x≤8时，与之间的函数关系式为y=8．

③如图3，当8<x<12时，，与之间的函数关系式为．

④当时，与之间的函数关系式为．

 特别提示：（1）本题也是变换型试题，计算与证明时要抓住变换中不变的元素（比如角相等，边相等，图形全等，等）来进行处理，如果直角比较多，还可从相似、三角函数、勾股定理角度来建立数量关系.（2）对于图形变化中分段函数的问题，可以从图形特征角度来分别讨论，以力求解答完备.

跟踪练习4（2007?河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA^-AD^-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD^-DA^-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；   

（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使P Q∥DC？

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运

动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

参考答案：

4：（1）t =35（秒）时，点P到达终点C． BQ的长为135－105=30．                    

（2）若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t，得50＋75－5t=3t，

解得t=．当t=时，有PQ∥DC．

（3）①当点E在CD上运动时S=S_ㄓQCE =QE?QC=6t²；

②当点E在DA上运动时， S= S_梯形QCDE =(ED＋QC)DH ==120 t－600．   

（4）       △PQE能成为直角三角形．当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t

≠或t=35．                                                                                                                 

跟踪练习5（2007江苏扬州）如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）若厘米，秒，则______厘米；

（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：5、（1），（2），使，相似比为

（3）△AMP∽△ABN可得PM=， ，化简,得，3＜a≤6.

（4）梯形的面积与梯形的面积相等即可， ，把代入，解得（舍负值）．

类型5.   抛物线中的图形

一般而言，这类题多为压轴题，解答基本思路仍然为分析与综合.除了需要灵活运用代数与几何核心知识外，还要注意应用分类、数形结合、转化等基本数学思想方法.

例5 （2007?河南）如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

 ①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）利用待定系数法可以求出抛物线解析式，（2）利用平行四边形OEAF的面积公式来建立函数关系式.①判断OEAF是否为菱形，关键是看能否由已知条件得到邻边相等，即需要将面积关系转化为线段关系，②假设存在符合条件的 E，考虑先满足条件“使得OEAF为正方形”，再看能否满足另外条件“在抛物线上”.

解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．把A、B两点坐标代入上式，得故抛物线解析式为，顶点为

（2）因为点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，

所以y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．因为OA是的对角线，

所以.

因为抛物线与x轴焦点的横坐标分别为：x_1=1，x₂₌6.又点E在第四象限，点E的纵坐标小于0，所以点E的横坐标1<x<6.

．的取值范围是1＜＜6．

①     根据题意，当S = 24时，即．  解得故所求的点E

有两个，分别为E₁（3，－4），E₂（4，－4）．点E₁（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；点E₂（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．

②     当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．

而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形．

 特别提示：需要同时满足几个条件时，不妨先满足其中部分，再看是否满足其它条件.

跟踪练习6（2007辽宁沈阳）．已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点

（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，

连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

参考答案：

6、（1）点B（2，0），点C（0，8），点A（－6，0），（2）抛物线的表达式为y＝－x²－x＋8　，（3）由＝　，因为AC==10，BE=8-m，AB=8.所以EF＝.

作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=.所以在Rt△EGF中， FG＝EF?sin∠FEG=?=8-m，所以S＝=-=－m²＋4m， m的取值范围是0＜m＜8　　

（4）存在．因为S＝－m²＋4m，又a= <0，当m===4时，=8.因为m=4，所以点E的坐标为（－2，0），

△BCE为等腰三角形．