2007届广东深圳市学高考数学模拟试题——青夏教育精英家教网——

2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题（2006年10月）

　　　　　

一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设全集U = R ，A =，则_UA=（）．

　A． B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x≥0｝ D.≥0

2．是“函数的最小正周期为”的 ( )．

　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（）．

　A．25 B．6 C．7 D．8

4.设两个非零向量不共线，若与也不共线，则实数k的取值范围为

　（　　　）．

　A．　 B．

　C． D．

5.曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则|P₂P₄|等于（）．

　 A． B．2 C．3 D．4

6．右图为函数的图象，其中m，n为常数，

　则下列结论正确的是（）．

　A．< 0 , n >1 　B．> 0 , n > 1 　　　　　　　

　C．> 0 , 0 < n <1 　 D． < 0 , 0 < n < 1

　7．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：

①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是

A．① B．①② C．①③ D．①②③

8.下列程序执行后输出的结果是( C )

n=5

s=0

WHILE s<14

s=s+n

n=n-1

WAND

PRINT n

END

A、-1 B、0 C、1 D、2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．

9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图

如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为

10．．

11．已知i， j为互相垂直的单位向量，a = i ? 2j， b = i + λj，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是　　．

12已知函数,对任意实数满足且

　　则 .

13符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，

　　那么下列命题中正确的序号是．

　（1）函数的定义域为R，值域为；（2）方程，有无数解；

　（3）函数是周期函数；（4）函数是增函数.

14.在平面直角坐标系中，已知曲线c：，（）

则曲线c关于y=x对称的曲线方程是

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分分）

已知，

　　（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．

16．（本题满分分）

在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

17．（本题满分分）

如图，已知正三棱柱―的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

18．（本小题满分14分）

一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．

（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；

（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．

19．（本题满分分）

已知数列满足：且

．

（Ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和；

20．（本题满分分）

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

一、选择题：

1. 答案：C. ｛x | x≥0｝,故选C.

2.C

3. （理）对于中，当n＝６时，有所以第２５项是７．选C.

4.D

5.Ａ．　∵

　　　　　　＝，

∴根据题意作出函数图象即得．选A．

6. 答案：Ｄ．当x=1时，y＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．

7.A

8.C

二、填空题：

9.810

10．答案：．

11. 答案：.

12.

13. （2）、（3）

14.

15．（本题满分分）

已知，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

解：（Ⅰ）由, ， ………………………2分

． …………………5分

（Ⅱ）原式＝

…………………10分

． …………………12分

16．（本题满分分）

在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，

，，

，且当或时，． ……………3分

因此，随机变量的最大值为．

有放回抽两张卡片的所有情况有种，

．

答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为． ………5分

（Ⅱ）的所有取值为．

时，只有这一种情况，

时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，． …………11分

则随机变量的分布列为：

因此，数学期望． ……………………13分

17．（本题满分分）

如图，已知正三棱柱―的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

解：（Ⅰ）设正三棱柱―的侧棱长为．取中点，连．

是正三角形，．

又底面侧面，且交线为．

侧面．

连，则直线与侧面所成的角为． ……………2分

在中，，解得． …………3分

此正三棱柱的侧棱长为． ……………………4分

注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过作于，连，

侧面．

为二面角的平面角． ……………………………6分

在中，，又

，．

又

在中，． …………………………8分

故二面角的大小为． …………………………9分

解法2：（向量法，见后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面． …………10分

在中，． …………12分

为中点，点到平面的距离为． …………13分

解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由可求．

解法4：（向量法，见后）

题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．

则．

设为平面的法向量．

由得．

取 …………6分

又平面的一个法向量 …………7分

． …………8分

结合图形可知，二面角的大小为． …………9分

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，…………10分

点到平面的距离＝．13分

18．（本小题满分14分）

一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．

（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；

（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．

解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分

解得，因此，点的坐标为． …………………4分

（Ⅱ），根据椭圆定义，

得，……………5分

，．

∴所求椭圆方程为． ………………………………7分

（Ⅲ），椭圆的准线方程为． …………………………8分

设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．

则，．

， ……………………………10分

令，则，

当，，，．

∴ 在时取得最小值． ………………………………13分

因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分

注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．

19．（本题满分分）

已知数列满足：且，．

（Ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和；

解：（Ⅰ）经计算，，，．

当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，

；

当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，

．

因此，数列的通项公式为．

（Ⅱ），

……（1）

…（2）

（1）、（2）两式相减，

得

．

．

20．（本题满分分）

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数

，，使得不等式成立，求的最大值．

解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，

，切线的方程为：，

又切线过点，有，

即， ………………………………………………（1） …… 2分

同理，由切线也过点，得．…………（2）

由（1）、（2），可得是方程的两根，

………………（ * ） ……………………… 4分

，

把（ * ）式代入,得,

因此，函数的表达式为． ……………………5分

（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，

即＝，化简，得，

，． ………………（3） …………… 7分

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得点、与三点共线，且． ……………………9分

（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，

，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立， …………11分

，

即对一切的正整数

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