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《七彩吉林市普通中学2008―2009学年度高中毕业班下学期期中复习检测

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题卷上的答题无效.

4.做图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

=

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

?=? 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那

么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

P_n(k) =P^k(1- P)ⁿ^-^k(k=0，1，2，^…，n)

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1．已知集合，，则M∩N =

A. B.

C. D.

2．已知向量，且a⊥b ，则

A．3 B．12 C． D．

3．在等差数列中，若，则

A． B． C． D．1

4．已知双曲线的两个焦点坐标分别为, 则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

≥0

≥0

A．3 B．2 C．1 D．0

6．设曲线在点（1，1）处的切线与直线ax+y+1=0平行，则

A．1 B．-1 C．2 D．-2

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值是

A． B． C．或 D．或

8．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为

A． B．1 C．2 D．4

9．若,则

A. B．

C． D．

10．将函数的图象按向量e平移恰好得到一个偶函数的图象，则e可能是

A . B. C. D．

11．已知一个正三棱锥的侧棱长为4，且侧棱与底面所成的角为，则该正三棱锥的体积为A． B. C. D.

12．设函数f (x)＝｜x+a｜+｜x+b｜的图象关于直线x= -1对称，则a,b必满足的关系式为

A．a+b =0 B．a -b =0 C．a =2b D．a+b =2

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二．填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.

13．在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽

取一个容量为20的样本，则二等品被抽到的个数为_______________.

14．的展开式中的常数项是________________. （用数字作答）

15．长方体的各顶点都在同一个球面上,其中,，，则A，B两点的球面距离为___________.

16．由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，且比43210小的五位数共有_____

_________个.（用数字作答）

三．解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知在公比为正数的等比数列中，，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若记数列的前n项和为，证明：16（n =1，2，3 …）.

18．（本小题满分12分）

设函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）当时，求函数的最大值，并指出取何值时函数取到最大值.

19．（本小题满分12分）

甲、乙两名同学进行乒乓球单打比赛，根据以往经验，单局比赛甲胜乙的概率为，本场比赛采用三局两胜制，即先胜两局者获胜，比赛结束．设各局比赛相互没有影响．

（Ⅰ）求本场比赛的总局数为的事件的概率；

（Ⅱ）求本场比赛中甲获胜的事件的概率.

20．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，AC=BC=2，

AB==，点D是AB的中点，点E是

的中点.

（Ⅰ）求证：⊥平面CDE；

（Ⅱ）求二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

设函数 (a，b∈R)在处取得极值，且.

（Ⅰ）求a的值及函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若存在x₀∈，使得，求b的取值范围.

22．(本小题满分12分)

以F₁(0 ，-1)，F₂(0 ，1)为焦点的椭圆C过点P(，1)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点S(，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试

问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如

何转动，以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点

T的坐标；若不存在，请说明理由．

命题、校对：王有富马辉王珊张英才代彤孙长青

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

ABCCB ADCCD BD

二．填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.

13. 6 ；14. 60 ；15.；16 .446.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （Ⅰ）设的公比为q（q>0）,依题意可得

解得（5分）

∴数列的通项公式为（6分）

（Ⅱ）（10分）

18. （Ⅰ）（2分）∴；（4分）

当，即，时单调递增

∴函数的单调递增区间为（6分）

（Ⅱ）∵，∴，∴ （10分）

∴当时，有最大值，此时. （12分）

19.（Ⅰ）记表示甲以获胜；表示乙以获胜，则，互斥，事件，

∴ （6分）

6ec8aac122bd4f6e （Ⅱ）记表示甲以获胜；表示甲以获胜，则_，互斥，事件， ∴（12分）

20．解法一：（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，

面面ABC，又D为AB中点，∴CD⊥面，∴CD⊥，∵AB=，∴⊥，

又DE∥∴⊥DE ，又DE∩CD =D

∴⊥平面CDE （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面CDE，设与DE交于点M ，

过B作BN⊥CE，垂足为N，连结MN ，则A₁N⊥CE，故∠A₁NM即为二面角的平面角. （9分）

6ec8aac122bd4f6e ∵，，又由△ENM △EDC得

. 又∵

在Rt△A₁MN中，tan∠A₁NM ，（12分）

故二面角的大小为. （12分）

6ec8aac122bd4f6e 解法二：AC=BC=2，AB=，可得AC⊥BC，故可以C为坐标原点建立如图所示直角

坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），

D（1，1，0），E （0，2，），（2，0，）（3分）

（Ⅰ）（-2，2，-），（1，1，0），

（0，2，）.∵，

∴，又CE∩CD =C

∴⊥平面CDE （6分）

（Ⅱ）设平面A₁CE的一个法向量为n＝（x，y，z），　　　（2，0，），

（0，2，）．∴由n，n得，

令得，，n=（2，1，）（9分）

又由（Ⅰ）知（-2，2，-）为平面DCE的法向量.

等于二面角的平面角. （11分）

. （12分）

二面角的大小为. （12分）

21．（Ⅰ）．由题意知为方程的两根

由，得（3分）

从而，．

当时，；当和时，

故在上单调递减，在，上单调递增．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递减，在处取得极值，此时，若存在，使得，

即有就是解得. （12分）

故b的取值范围是. （12分）

22. （Ⅰ）设椭圆方程为(a>b>0)，由已知c=1，

又2a= . 所以a=,b²=a²-c²=1，

椭圆C的方程是+ x² =1. （4分）

（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1,

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)²+y²=．

由解得即两圆相切于点(1，０)．

因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．

事实上，点T(1，０)就是所求的点．证明如下：（7分）

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

记点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则

又因为=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂),

?=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1

=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，（11分）

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．

所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．（12分）