2009大连市高三双基考试数学试卷参考公式:棱锥体积公式:(其中为棱锥的底面积.为棱锥的高)——青夏教育精英家教网——

2009大连市高三双基考试

数学试卷（理科）

参考公式：

棱锥体积公式：（其中为棱锥的底面积，为棱锥的高）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、集合，则=

　A． B. C.D.

2、在等差数列中，已知，则等于

A. 1003 B. 1004 C. 1005 D.1006

3、函数的一个单调减区间是

A. B. C. D.

4、已知函数定义域为，则一定为

A．非奇非偶函数 B. 奇函数 C. 偶函数 D.既奇又偶函数

5、二项展开式中的奇次幂项的系数之和为

A. B. C. D.

6、已知函数，则

A. B. C. D.

７、已知等腰直角，，,点是内部或边界上一动点，是边的中点，则的最大值为

A.4 B.5 C.6 D.7

8、已知数列（），则的最小值为

A．-19 B.-18 C.-17 D.-16

9、下列说法错误的是

A.已知命题为“”，则为“”

B. 若为假命题，则均为假命题

C. 的一个充分不必要条件是

D.“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题

10、如图，已知正方体棱长为1，点在线段上.当最大时，三棱锥的体积为

第１０题图

11、已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个交点，且轴，则椭圆的离心率为

A. B. C. D.

12、已知，则关于的方程有实根的概率为

A. B.

C. D.

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题:（本大题共6小题，每小题4分，考生做答4题，满分16分．其中15-18题是选做题.）

（一）必做题.

13、已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为．

14、给出如图所示的程序框图，那么输出的数是　　　　　　.

第１４题图

（二）选做题(考生只需选做二题，如果多做，则按所做的前两题记分).

15、（不等式选讲选做题）不等式的解集为．

16、（坐标系与参数方程选讲选做题）极坐标系中，点P到直线的距离是　　　　．

17、（几何证明选讲选做题）如图，已知C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是ACB的平分线交AE于点F,交AB于D点，则ADF= ．

18、（矩阵选讲选做题）矩阵的逆矩阵是．

第１５题图

三.解答题:本大题共6题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

１９、（本小题满分12分）已知中，，角所对的边分别是

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若，求的最小值．

２０、（本小题满分12分）如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，，为等边三角形，面面，分别为棱的中点

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

２１、（本小题满分12分）已知盒中有大小相同的 3个红球和t 个白球，从盒中一次性取出3个球，取到白球个数的期望为.若每次不放回地从盒中抽取一个球，一直到抽出所有白球时停止抽取，设为停止抽取时取到的红球个数，

（Ⅰ）求白球的个数t；

（Ⅱ）求的数学期望.

２２、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，

（Ⅰ）求证：是等差数列；

（Ⅱ）求.

２３、（本小题满分12分）已知可行域的外接圆C与轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为短轴，离心率

（Ⅰ）求圆C及椭圆C₁的方程；

（Ⅱ）过椭圆C₁上一点P(不在坐标轴上)向圆C引两条切线PA、PB、A、B为切点，直线AB分别与x轴、y轴交于点M、N．求△MON面积的最小值．（O为原点）．

２４、（本小题满分1４分）已知函数（常数）

（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当函数有极值时，求证：函数所有极值之和小于．

2009大连市高三双基考试

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空题

13．　　　 14. 7500 　　　 15. （-1，1）

16. 　　　　　　１７．45^o 　　　　　　　　１８．

三、解答题

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因为，所以，所以，

即的取值范围为┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因为，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值为，当即为等边三角形时取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）证明（方法一）取中点，连接，因为分别为中点，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中点，连接，

因为分别为中点，所以

又因为分别为中点，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中点，连接，

由题可得，又因为面面，

所以面，又因为菱形中，所以.

可以建立如图所示的空间直角坐标系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨设，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

设面的一个法向量为，则，不妨取，则，所以，又因为面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

（Ⅱ）（方法一）

过点作的垂线交于，连接.

因为，

所以，所以面，

所以为二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因为面面，所以点在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨设，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因为二面角为锐角，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）从盒中一次性取出三个球，取到白球个数的分布列是超几何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望为，所以，即盒中有 3个红球，2 个白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由题可得的取值为0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列为

0

1

2

3

P

┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =

答：红球的个数为2，的数学期望为2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差数列，首项为，公差为1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令 ①

则 ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，

∵，∴为直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求椭圆C₁的方程是． ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率为，则PA的斜率为，则PA的方程为：化简为：，

同理PB的方程为 ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同时过P点，则x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直线方程为：x₀x+y₀y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以OP为直径的圆，然后求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即为AB的方程）

从而得到、

所以 ┅┅┅┅┅┅┅8分

当且仅当. ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用椭圆的参数方程、函数求最值等方法求的最大值）

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①当，即，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②当，即，当时，在上有，所以在单调递增；当时，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③当，即

当时，函数对称轴在y轴左侧，且，所以在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅８分

当时，函数对称轴在右侧，且，

两个根分别为，所以在上有，即在单调递增；在上有，即在单调递减.

综上：时，在单调递增；时，在单调递增，在单调递减. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，有极大值，极小值，所以

，又因为，

┅┅┅１2分

所以

=

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