Question

如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场I，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ=60°．这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B．离子源中的正离子（带电量为q，质量为m，不计重力）通过小孔O₁进入极板间电压为U的加速电场区域（可认为初速度为零），离子经电场加速后通过小孔O₂射出，从接近O点处进入磁场区域I．离子进入磁场的速度垂直于磁场边界MN，也垂直于磁场．
（1）当加速电场极板电压U=U₀，求离子进入磁场中做圆周运动的半径R；
（2）在OQ上有一点P，P点到O点距离为L，当加速电场极板电压U₁时，离子恰好通过P点第一次进入磁场Ⅱ，求U₁的值；
（3）当加速电场极板电压U取哪些值，才能保证离子通过P点．

Answer 1

分析：（1）离子在电场中加速时，根据动能定理求解获得的速度．离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，离子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求解离子进入磁场后做圆周运动的半径R．
（2）OQ是一条直线，离子进入磁场时速度与OQ的夹角为30°，做出运动的轨迹，由几何知识分析得知R与L之间的关系，然后求出电压；
（3）离子每次经过OQ一次，速度偏转60°，沿OQ方向前进的距离等于半径R，若离子能通过P点，则有 L=nR，即可求解加速电压．

解答：解：（1）离子在电场中加速时，根据动能定理有：
qU0=

1

2

m

v

2 0

 离子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力有：
qv0B=

m v 2 0

R

解得：R=

1

B

2mU0 q

（2）离子进入磁场时的运动轨迹如图所示，由几何关系可知：
R₁=L
又：qU1=

1

2

m

v

2 1

根据洛伦兹力提供向心力得：qv1B=

m v 2 1

R1

解得：U1=

qB2L2

2m

（3）要保证离子通过P点，必须有：L=nR
解得：U=

qB2L2

2mn2

，其中n=1，2，3，…
答：（1）离子进入磁场后做圆周运动的半径为

1

B

2mU0 q

；．
（2）当加速电场极板电压U1=

qB2L2

2m

时，离子恰好通过P点第一次进入磁场Ⅱ，
（3）当加速电场极板电压U=

qB2L2

2mn2

，其中n=1，2，3，…取哪些值，才能保证离子通过P点．

点评：本题分析离子在磁场中运动时，关键要抓住离子经过OQ边界时速度方向与边界的夹角相等，根据周期性求解半径，确定加速电压．