Question

如右图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R.一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点．不计空气阻力.试求：

(1)当m在A点时，弹簧的弹性势能的大小；

(2)物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小；

（3）如果半圆形轨道也是光滑的，其他条件不变，当物体由A经B运动到C，然后落到水平面，落点为D（题中未标出，且水平面足够长），求D点与B点间距离。

Answer 1

(1)物块在B点时，由牛顿第二定律得：

FN-mg=m，FN=7mg                                     2分

E_kB==3mgR                                         2分

在物体从A点至B点的过程中，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能

Ep=EkB=3mgR.                                       1 分

(2)物体到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有

mg=m

E_kC==mgR                                   2分

物体从B点至C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：

W_阻-mg·2R=E_kC-E_kB                                                   2分

解得W_阻=-0.5mR                                     1分

所以物体从B点运动至C点克服阻力做的功为W=0.5mgR.

（3）在物体从B点至C点的过程中，根据动能定理有：

-mg2R=-   解得=mgR   v_c=      2分

由C点到D点，物体做平抛运动，有：

水平方向：X_BD= v_ct                                     1分

竖直方向：2R=                                   1分

解得X_BD=2                                       2分